Dubbio Derivate e De Hopital

[Geppetto92]

Ciao a tutti! sono nuovo qui ed avrei un paio di dubbi:
(premetto che frequento un tecnico e che domani ho un compito)
-La derivata di loga^x= 1/xlna vero? in internet ho trovato che corrisponde a 1/x come ln
-Studiando la regola de l' hopital ho notato che tre sono le forme di indeterminazione che ci interessano:
1)0/0 o infinito/infinito dove si applica direttamente de hopital fino a rimuovere l' indeteminazione
2)0 per infinito dove si trasforma f(x)g(x) in f(x)/1/g(x) o viceversa
3) infinito +infinito, noi la trattiamo facendo il m.c.m. ed applicando De H. mentre sempre su internet ho letto che bisogna mettere in evidenza.. come è più corretto fare?
- La formula x appartenente a (- infinito + infinito)-> a^x appartenente a (0 +infinito) ci può essere utile nello svolgere limiti indeterminati con De H.?
-Nel calcolo di funzione per trovare la crescenza e la decrescenza non ho problemi, finchè non ho trovato nella traccia anche e^x ad esempio: y=x-e^x; y=x^x^2+2x; e^x^2 -e^-x2. Come trattare e^x ? Perchè poi ln non lo teniamo in considerazione quando facciamo y'>0 ?

Mille Grazie in anticipo a chiunque risponderà!

[ciampax]

Allora, procediamo con ordine:

La derivata è

[math]D[\log_a x]=\frac{1}{x\cdot\ln a}[/math]

(ovviamente quando

[math]a=e[/math]

ottieni la derivata del logaritmo naturale).


1) Con le forme indeterminate

[math]0/0,\ \infty/\infty[/math]

puoi effettivamente procedere direttamente al calcolo diretto, derivando le funzioni a numeratore e denominatore.

2) Non c'è una regola precisa: dipende dalle funzioni presenti: in generale le potenze conviene lasciarle sempre positive (sono più facili da derivare), come pure i logaritmi; gli esponenziali possono essere usati come vuoi, così come le funzioni trigonometriche (nella maggior parte dei casi);

3) Con la forma indeterminata

[math]\infty-\infty[/math]

, supponendo che

[math]\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty,\ \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=-\infty[/math]

, puoi usare una delle seguenti identità:

[math]\lim_{x\rightarrow x_0}\left[f(x)+g(x)\right]=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\left(1+\frac{g(x)}{f(x)}\right)=\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)\left(1+\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\\
\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{[f(x)]^2-[g(x)]^2}{f(x)-g(x)}[/math]

4) No: quella rappresenta solo la relazione tra dominio e codominio della funzione esponenziale;

5) Innanzitutto, il termine esatto è monotonia, non crescenza e decrescenza (la crescenza è un formaggio fresco!). Ti dico in modo generale come occuparti dei casi in esempio:

(i)

[math]y=x-e^x[/math]

da cui

[math]y'=1-e^x>0[/math]

che implica [math]e^x