Dubbio circa la veridicità o meno di una supposizione geom.
Salve ragazzi, oggi mi è saltato in mente un dubbio, immaginate la seguente situazione:
Abbiamo un triangolo rettangolo, tracciamo un segmento che parte da uno dei tre vertici fino a toccare uno qualsiasi dei punti compresi tra gli estremi del lato opposto. Abbiamo così diviso il triangolo rettangolo di partenza in altri due triangoli, che saranno anch'essi rettangoli solamente nel caso in cui il segmento tracciato sia in effetti un altezza del triangolo.
La domanda è: se applichiamo il teorema di pitagora, per ottenere la lunghezza del segmento tracciato in precedenza, ad entrambi i triangoli ottenuti (anche se essi potrebbero non essere effettivamente rettangoli) ed esso restituisce in entrambe le applicazioni il medesimo risultato allora si può dire che i due triangoli siano effettivamente rettangoli e che quindi il segmento tracciato è un altezza del triangolo di partenza?
Detto in altre parole ciò che viene supposto non sarebbe vero se: esiste un segmento (tracciato come visto in precedenza) che pur non producendo due triangoli rettangoli, applicando il teorema di pitagora su entrambi i triangoli NON rettangoli si ottiene il medesimo valore.
(Ovviamente applicare il teorema di pitagora su triangoli non rettangoli non restituisce la lunghezza del segmento che si vuole trovare, è quindi inutile in questo senso, venendo a mancare il requisito che il triangolo sia rettangolo, necessario per l'esattezza del teorema.)
Qualcuno può darmi una prova della veridicità o falsità della supposizione?
Vi ringrazio in anticipo
Abbiamo un triangolo rettangolo, tracciamo un segmento che parte da uno dei tre vertici fino a toccare uno qualsiasi dei punti compresi tra gli estremi del lato opposto. Abbiamo così diviso il triangolo rettangolo di partenza in altri due triangoli, che saranno anch'essi rettangoli solamente nel caso in cui il segmento tracciato sia in effetti un altezza del triangolo.
La domanda è: se applichiamo il teorema di pitagora, per ottenere la lunghezza del segmento tracciato in precedenza, ad entrambi i triangoli ottenuti (anche se essi potrebbero non essere effettivamente rettangoli) ed esso restituisce in entrambe le applicazioni il medesimo risultato allora si può dire che i due triangoli siano effettivamente rettangoli e che quindi il segmento tracciato è un altezza del triangolo di partenza?
Detto in altre parole ciò che viene supposto non sarebbe vero se: esiste un segmento (tracciato come visto in precedenza) che pur non producendo due triangoli rettangoli, applicando il teorema di pitagora su entrambi i triangoli NON rettangoli si ottiene il medesimo valore.
(Ovviamente applicare il teorema di pitagora su triangoli non rettangoli non restituisce la lunghezza del segmento che si vuole trovare, è quindi inutile in questo senso, venendo a mancare il requisito che il triangolo sia rettangolo, necessario per l'esattezza del teorema.)
Qualcuno può darmi una prova della veridicità o falsità della supposizione?
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Non esiste un altro segmento e te ne do la prima dimostrazione che mi è venuta in mente; probabilmente ce ne sono di migliori.
Indico i cateti con $BC=a, CA=b$; detto P il punto in cui cade il segmento, pongo $AP=x$ e ne consegue $BP=sqrt(a^2+b^2)-x$. Uguagliando i risultati dello pseudo-teorema di Pitagora ottengo
$b^2-x^2=a^2-(sqrt(a^2+b^2)-x)^2$
Facendo i calcoli si ottiene un'equazione di primo grado in $x$ e quindi c'è un solo punto P per cui questo è vero: il piede dell'altezza.
Indico i cateti con $BC=a, CA=b$; detto P il punto in cui cade il segmento, pongo $AP=x$ e ne consegue $BP=sqrt(a^2+b^2)-x$. Uguagliando i risultati dello pseudo-teorema di Pitagora ottengo
$b^2-x^2=a^2-(sqrt(a^2+b^2)-x)^2$
Facendo i calcoli si ottiene un'equazione di primo grado in $x$ e quindi c'è un solo punto P per cui questo è vero: il piede dell'altezza.
Molte grazie della tua risposta 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo