Dubbio calcolo limite con razionalizzazione
Buongiorno a tutti.
Pensavo anche su questo argomento di aver limato le carenze ma deduco che non è così.
$(x^4-4)/(x^3-2sqrt(2))$
qui devo razionalizzare quindi moltiplico sopra e sotto per $x^3+2sqrt(2)$
ottengo pertanto
$((x^4-4)*(x^3+2sqrt(2)))/(x^6-2^3)$
il denominatore potrei riscriverlo come differenza di cubi in questo modo
$(x^2)^3-2^3$ quindi riscrivo applicando le regole dei prodotti notevoli
$((x^4-4)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^2-2)*(x^4-2x^2+4))$
poi però mi blocco. potrei provare a scomporre il trinomio di 4 grado? o sono sulla strada sbagliata?
grazie mille
Pensavo anche su questo argomento di aver limato le carenze ma deduco che non è così.
$(x^4-4)/(x^3-2sqrt(2))$
qui devo razionalizzare quindi moltiplico sopra e sotto per $x^3+2sqrt(2)$
ottengo pertanto
$((x^4-4)*(x^3+2sqrt(2)))/(x^6-2^3)$
il denominatore potrei riscriverlo come differenza di cubi in questo modo
$(x^2)^3-2^3$ quindi riscrivo applicando le regole dei prodotti notevoli
$((x^4-4)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^2-2)*(x^4-2x^2+4))$
poi però mi blocco. potrei provare a scomporre il trinomio di 4 grado? o sono sulla strada sbagliata?
grazie mille
Risposte
La scomposizine di $x^6-2^3$ che hai fatto non mi sembra corretta; facendo il prodotto dei due termini al denominatore tra parentesi non mi risulta $x^6-2^3$
Inoltre non hai detto l'obbiettivo di questi conti
Inoltre non hai detto l'obbiettivo di questi conti
Ciao Marco. Intanto ti consiglio, comunque, di indicare il limite in modo completo: letta così non sappiamo a cosa tende la $x$ e, in base ai casi, si potrebbero adottare strategie differenti.
A occhio, comunque, immagino che questo caso $x \to \sqrt(2)$.
Posso dirti che allenandoti in questi esercizi, puoi sviluppare un po' d'occhio e notare qualcosa del tipo
$x^4 - 4 = (x)^4 - (\sqrt(2))^4$
$x^3 - 2\sqrt(2) = (x)^3 - (\sqrt(2))^3$
ma nessuno ci impedisce di razionalizzare e, anzi, è la soluzione più semplice e praticabile dal punto di vista pratico.
Non aggiungo molto proprio perché le mie osservazioni si basano su esperienze passate (come detto, deduco $x -> \sqrt(2)$).
Però posso dirti due cose.
La prima è che hai fatto un errore di segno nella scomposizione, immagino che intenda questo l'utente AnalisiZero.
La seconda è che la razionalizzazione, in genere, permette di eliminare parte delle forme indeterminate e/o dei problemi, permettendo di sostituire direttamente alcuni termini con il loro risultato al limite.
L'ho detta pessima, ma intendo dire che, per es., se $x \to \sqrt(2)$, allora $(x^3 + 2\sqrt(2)) \to 4\sqrt(2)$ e si può proseguire in questo modo.
A occhio, comunque, immagino che questo caso $x \to \sqrt(2)$.
Posso dirti che allenandoti in questi esercizi, puoi sviluppare un po' d'occhio e notare qualcosa del tipo
$x^4 - 4 = (x)^4 - (\sqrt(2))^4$
$x^3 - 2\sqrt(2) = (x)^3 - (\sqrt(2))^3$
ma nessuno ci impedisce di razionalizzare e, anzi, è la soluzione più semplice e praticabile dal punto di vista pratico.
Non aggiungo molto proprio perché le mie osservazioni si basano su esperienze passate (come detto, deduco $x -> \sqrt(2)$).
Però posso dirti due cose.
La prima è che hai fatto un errore di segno nella scomposizione, immagino che intenda questo l'utente AnalisiZero.
La seconda è che la razionalizzazione, in genere, permette di eliminare parte delle forme indeterminate e/o dei problemi, permettendo di sostituire direttamente alcuni termini con il loro risultato al limite.
L'ho detta pessima, ma intendo dire che, per es., se $x \to \sqrt(2)$, allora $(x^3 + 2\sqrt(2)) \to 4\sqrt(2)$ e si può proseguire in questo modo.
Con la dovuta correzione di Zero87
$((x^4-4)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^2-2)*(x^4+2x^2+4))$ piuttosto di cercare una scomposizione del trinomio di quarto grado, che non si annulla per $x=sqrt2$, e quindi è inutile per la risoluzione del limite, mi orienterei a scomporre
$(x^4-4)$ come differenza di quadrati $(x^4-4)=(x^2+2)*(x^2-2)$
In questo modo la frazione si può semplificare e proprio con il termine che azzera numeratore e denominatore
$((x^4-4)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^2-2)*(x^4+2x^2+4))=((x^2+2)(x^2-2)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^2-2)*(x^4+2x^2+4))=((x^2+2)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^4+2x^2+4))$
$((x^4-4)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^2-2)*(x^4+2x^2+4))$ piuttosto di cercare una scomposizione del trinomio di quarto grado, che non si annulla per $x=sqrt2$, e quindi è inutile per la risoluzione del limite, mi orienterei a scomporre
$(x^4-4)$ come differenza di quadrati $(x^4-4)=(x^2+2)*(x^2-2)$
In questo modo la frazione si può semplificare e proprio con il termine che azzera numeratore e denominatore
$((x^4-4)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^2-2)*(x^4+2x^2+4))=((x^2+2)(x^2-2)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^2-2)*(x^4+2x^2+4))=((x^2+2)*(x^3+2sqrt(2)))/((x^4+2x^2+4))$
"Zero87":
Ciao Marco. Intanto ti consiglio, comunque, di indicare il limite in modo completo: letta così non sappiamo a cosa tende la $x$ e, in base ai casi, si potrebbero adottare strategie differenti.
A occhio, comunque, immagino che questo caso $x \to \sqrt(2)$.
.
Perdonami hai ragione. l'ho scritta di getto e mi sono dimenticato di indicarlo.
Comunque si tende a $sqrt(2)$
"AnalisiZero":
La scomposizine di $x^6-2^3$ che hai fatto non mi sembra corretta; facendo il prodotto dei due termini al denominatore tra parentesi non mi risulta $x^6-2^3$
Inoltre non hai detto l'obbiettivo di questi conti
pardon avete ragione. L'obiettivo era calcolare il limite per x che tende a $sqrt(2)$.
hai ragione anche sulla scomposizione. Ho copiato male la formula
"@melia":
$(x^4-4)$ come differenza di quadrati $(x^4-4)=(x^2+2)*(x^2-2)$
$
Grazie, era quello che stavo cercando di ottenere.
Eliminare il fattore di "disturbo".
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