Dubbio calcolo asintoto obliquo
Buongiorno,
piccolo dubbio sulla presenza di asintoto in questa funzione.
$y=x^4/(1-x^3)$
Verifico prima la presenza di asintoto orizzontale.
$lim_(x -> +-00) (x^4/(1-x^3))$
Forma indeterminata $00/00$
Raccolgo x grado maggiore sopra e sotto
$x^4/(x^3(1/x^3-1)) = x/-1 =-00$
Bene, non esiste asintoto orizzontale, faccio senza sostituire con -00. Procedo con l'obliquo.
$lim_(x -> +-00) (x^4/(1-x^3)*1/x) = x^4/(x-x^4) = x^4/(x^4(1/x^3-1)) = 1/-1$
quindi $m=-1$
cerco q
$lim_(x -> +-00) (x^4/(1-x^3))-(m*x) = (x^4/(1-x^3))-(-1*x)=(x^4/(1-x^3))+x$
$(x^4+x(1-x^3))/(1-x^3) = x^4+x-x^4/(1-x^3) = 00/00$
raccolgo ancora x di grado massimo sopra e sotto
$x/x^3(1/x^3-1) = 1/(+00) = 0^+$
è corretto che q sia 0+?
in questo caso sia il limite per +00 che per -00 da lo stesso risultato di q, immagino debba essere sempre così giusto?
Grazie mille
piccolo dubbio sulla presenza di asintoto in questa funzione.
$y=x^4/(1-x^3)$
Verifico prima la presenza di asintoto orizzontale.
$lim_(x -> +-00) (x^4/(1-x^3))$
Forma indeterminata $00/00$
Raccolgo x grado maggiore sopra e sotto
$x^4/(x^3(1/x^3-1)) = x/-1 =-00$
Bene, non esiste asintoto orizzontale, faccio senza sostituire con -00. Procedo con l'obliquo.
$lim_(x -> +-00) (x^4/(1-x^3)*1/x) = x^4/(x-x^4) = x^4/(x^4(1/x^3-1)) = 1/-1$
quindi $m=-1$
cerco q
$lim_(x -> +-00) (x^4/(1-x^3))-(m*x) = (x^4/(1-x^3))-(-1*x)=(x^4/(1-x^3))+x$
$(x^4+x(1-x^3))/(1-x^3) = x^4+x-x^4/(1-x^3) = 00/00$
raccolgo ancora x di grado massimo sopra e sotto
$x/x^3(1/x^3-1) = 1/(+00) = 0^+$
è corretto che q sia 0+?
in questo caso sia il limite per +00 che per -00 da lo stesso risultato di q, immagino debba essere sempre così giusto?
Grazie mille
Risposte
"Marco1005":
è corretto che q sia 0+?
in questo caso sia il limite per +00 che per -00 da lo stesso risultato di q, immagino debba essere sempre così giusto?
a) Si e' corretto.
b) Cosa significa "debba essere sempre cosi'" ? Dipende dalla funzione che stai studiando.
b) Confermo che dipende dalla funzione che stai studiando, ma per le funzioni razionali fratte non occorre distinguere fra $x->+oo$ e $x->-oo$; in casi come il tuo il risultato è sempre $0$, ma non è detto che sia proprio $0^+$. Anzi, alcuni autori dicono che quella scritta non va mai usata nel risultato di in limite, ma solo nell'indicare a cosa tende $x$.
Ti scrivo soprattutto per invitarti ad una maggior precisione; spero che la mancanza di alcune parentesi necessarie e di altro sia limitata alla scrittura al computer.
Il simbolo $oo$ si ottiene con due o, non con due 0, ma è cosa da poco.
Ti scrivo soprattutto per invitarti ad una maggior precisione; spero che la mancanza di alcune parentesi necessarie e di altro sia limitata alla scrittura al computer.
Il simbolo $oo$ si ottiene con due o, non con due 0, ma è cosa da poco.
"Quinzio":
b) Cosa significa "debba essere sempre cosi'" ? Dipende dalla funzione che stai studiando.
Nel senso che sia per $+oo$ che per $-oo$ ottengo lo stesso valore di q
Se si tratta di funzione razionale fratta, la risposta è sì. Altri tipi di funzione potrebbero dare risultati diversi.
"@melia":
Se si tratta di funzione razionale fratta, la risposta è sì. Altri tipi di funzione potrebbero dare risultati diversi.
Grazie, potrei quindi avere più asintoti obliqui?
Sì, ad esempio una funzione con i moduli o una irrazionale potrebbero avere asintoti diversi a $+oo$ e a $-oo$, che potrebbero essere anche un asintoto obliquo e uno orizzontale, o due obliqui, o due orizzontali, o anche un solo asintoto a uno dei due infiniti e nessuno nell'altro.
Esempi
$y=sqrt(x^2+2x)$
ha due distinti asintoti obliqui, che sono $y=x+1$ (a $+oo$) e $y=-x-1$ (a $-oo$).
$y=sqrt(x^2+1)-x$
ha un asintoto orizzontale a $+oo$, che è $y=0$, e un asintoto obliquo a $-oo$, che è $y=-2x$.
$y=x/(1+e^x)$
ha un asintoto orizzontale a $+oo$, che è $y=0$, e un asintoto obliquo a $-oo$, che è $y=x$.
$y=arctan(x)-x$
ha due asintoti obliqui paralleli (stesso $m$ ma $q$ diversi).
$y=sqrt(x^2+2x)$
ha due distinti asintoti obliqui, che sono $y=x+1$ (a $+oo$) e $y=-x-1$ (a $-oo$).
$y=sqrt(x^2+1)-x$
ha un asintoto orizzontale a $+oo$, che è $y=0$, e un asintoto obliquo a $-oo$, che è $y=-2x$.
$y=x/(1+e^x)$
ha un asintoto orizzontale a $+oo$, che è $y=0$, e un asintoto obliquo a $-oo$, che è $y=x$.
$y=arctan(x)-x$
ha due asintoti obliqui paralleli (stesso $m$ ma $q$ diversi).
Grazie Martino per gli esempi.
Me li salvo subito
Me li salvo subito
"Martino":
$y=x/(1+e^x)$
ha un asintoto orizzontale a $+oo$, che è $y=0$, e un asintoto obliquo a $-oo$, che è $y=x$.
Martino scusa una domanda. La prof di una mia studente ha scritto nei suoi appunti che quando è presente un asintoto orizzontale non c'è mai l'obliquo. Ma da quello che hai scritto mi pare il contrario.
Come mai questo errore secondo te?
Gli asintoti orizzontali e obliqui nascono dallo studio del comportamento della funzione all'infinito (se compreso nel dominio).
Gli infiniti sono due quindi una funzione può avere due asintoti orizzontali o obliqui, eventualmente diversi tra i due infiniti.
Gli infiniti sono due quindi una funzione può avere due asintoti orizzontali o obliqui, eventualmente diversi tra i due infiniti.
"Marco1005":Probabilmente intende dire che se c'è un asintoto orizzontale a $+oo$ allora non c'è un asintoto obliquo a $+oo$, e che se c'è un asintoto orizzontale a $-oo$ allora non c'è un asintoto obliquo a $-oo$.
Come mai questo errore secondo te?
Un'altra interpretazione è che stesse parlando solo di funzioni del tipo $f(x)=(P(x))/(Q(x))$ con $P(x),Q(x)$ polinomi.
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