Dubbio!
scusate, mi è preso un dubbio!
mi esprimerò malissimo, ma una funzione non doveva avere come condizione principale che ad ogni x corrisponde 1 e uno soltanto valore di y?
non so se il concetto è chiaro!
Comunque, se prendo la funzione $y = sqrt(x)$ possono esserci più valori y per uno solo della x!
esempio: prendendo la stessa equazione e sostituendo 4 alla x posso ottenere 2 e -2!
dove sbaglio??
mi esprimerò malissimo, ma una funzione non doveva avere come condizione principale che ad ogni x corrisponde 1 e uno soltanto valore di y?
non so se il concetto è chiaro!
Comunque, se prendo la funzione $y = sqrt(x)$ possono esserci più valori y per uno solo della x!
esempio: prendendo la stessa equazione e sostituendo 4 alla x posso ottenere 2 e -2!
dove sbaglio??
Risposte
Il tuo ragionamento è giusto, però devi considerare il segno del coefficiente della radice
$sqrt(x)=+1*sqrt(x)$
quindi la tua funzione rappresenta il ramo di parabola, ad asse orizzontale, in cui i valori di y sono positivi.
$sqrt(x)=+1*sqrt(x)$
quindi la tua funzione rappresenta il ramo di parabola, ad asse orizzontale, in cui i valori di y sono positivi.
Il tuo ragionamento e' giusto senza dubbio. Io insegno queste cose in terza liceo e le spiego così, come fa anche il testo e come insegnarono a me a suo tempo.
Data la funzione
$y=sqrt(x)$, la si rappresenti graficamente. Quindi al fine della rappresentazione si segue questo procedimento.
Il dominio è $x>=0$, elevo al quadrato per ottenere $y^2=x$, che e' una parabola ad asse orizzontale e, quindi, non una funzione. Ora la curva di partenza rappresenta il solo ramo che corrisponde ai valori di y positivi, o analogamente $sqrt(x)>=0$, che e' invece una funzione.
Il ramo inferiore sarebbe infatti $y=-sqrt(x)$.
In definitiva, la scelta del ramo dipende dal segno del coefficiente della radice. D'altra parte il segno di un radicale è il segno del suo coefficiente.
$sqrt(4)=+-2$, ora l'immagine di 4, secondo la funzione $y=+sqrt(x)$ è solo $+2$.
Data la funzione
$y=sqrt(x)$, la si rappresenti graficamente. Quindi al fine della rappresentazione si segue questo procedimento.
Il dominio è $x>=0$, elevo al quadrato per ottenere $y^2=x$, che e' una parabola ad asse orizzontale e, quindi, non una funzione. Ora la curva di partenza rappresenta il solo ramo che corrisponde ai valori di y positivi, o analogamente $sqrt(x)>=0$, che e' invece una funzione.
Il ramo inferiore sarebbe infatti $y=-sqrt(x)$.
In definitiva, la scelta del ramo dipende dal segno del coefficiente della radice. D'altra parte il segno di un radicale è il segno del suo coefficiente.
$sqrt(4)=+-2$, ora l'immagine di 4, secondo la funzione $y=+sqrt(x)$ è solo $+2$.
"Nicoletta:)":
scusate, mi è preso un dubbio!
mi esprimerò malissimo, ma una funzione non doveva avere come condizione principale che ad ogni x corrisponde 1 e uno soltanto valore di y?
non so se il concetto è chiaro!
Comunque, se prendo la funzione $y = sqrt(x)$ possono esserci più valori y per uno solo della x!
esempio: prendendo la stessa equazione e sostituendo 4 alla x posso ottenere 2 e -2!
dove sbaglio??
Capisco il tuo dubbio. Secondo me devi rifarti alla definizione di radice quadrata in campo reale. La radice quadrata di $a >= 0$ è quel numero $b >= 0$ tale che
$b^2=a$
Di conseguenza $\sqrt(4) = 2$ in modo univoco.
Non devi confondere l'operazione di radice quadrata con il calcolo delle soluzioni dell'equazione del tipo
$x^2-4 = 0$
In questo secondo caso le soluzioni sono, come già sai,
$x= +- \sqrt(4) = +-2$
e, come vedi, per ottenere la soluzione negativa è necessario anteporre un segno meno davanti all'operazione di radice quadrata poiché essa di per sé fornisce sempre e solo valori non negativi.
Quanto detto vale per tutte le radici di indice pari (radice quarta, sesta, ottava,...milionesima,...)
A titolo informativo, sappi comunque che esistono anche funzioni che per un fissato valore di $x$ attribuiscono piú valori alla $y$ e vengono chiamate funzioni polidrome. Una di queste è la radice quadrata in campo complesso, ad esempio. Ma questi sono argomenti che, con tutta probabilità, affronterai all'Università...sempre che tu scelga una facoltà ad elevato contenuto matematico...
Cito testualmente G. Zwirner:
La radice n-ma di un numero reale a, rappresenta un solo numero reale se n è dispari e ha lo stesso segno di a. Se n è pari rappresenta due numeri reali opposti, se a è positivo e non rappresenta alcun numero reale, se a è negativo.
In ogni teoria riguardante il campo reale converrebbe considerare i radicali, esclusivamente come radicali aritmetici. $sqrt(9)=3$ e se si vorranno considerare i due valori di $sqrt(9)$, si scriverà esplicitamente $+-sqrt(9)=+-3$.
Per definire rigorosamente la funzione $y=sqrt(x)$ dovremmo scrivere:
$y=+sqrt(x)$, se è y è non negativo
$y=-sqrt(x)$ se y è negativo.
In nota a piè di pagina scrive: La purtroppo alta frequenza di errori, da parte di giovani studenti, dovrebbe sconsigliare l'uso del radicale algebrico nella didattica.
La radice n-ma di un numero reale a, rappresenta un solo numero reale se n è dispari e ha lo stesso segno di a. Se n è pari rappresenta due numeri reali opposti, se a è positivo e non rappresenta alcun numero reale, se a è negativo.
In ogni teoria riguardante il campo reale converrebbe considerare i radicali, esclusivamente come radicali aritmetici. $sqrt(9)=3$ e se si vorranno considerare i due valori di $sqrt(9)$, si scriverà esplicitamente $+-sqrt(9)=+-3$.
Per definire rigorosamente la funzione $y=sqrt(x)$ dovremmo scrivere:
$y=+sqrt(x)$, se è y è non negativo
$y=-sqrt(x)$ se y è negativo.
In nota a piè di pagina scrive: La purtroppo alta frequenza di errori, da parte di giovani studenti, dovrebbe sconsigliare l'uso del radicale algebrico nella didattica.
Ovviamente non è andato nel campo complesso, ma ho sbagliato io a scrivere. Ho provveduto a correggere.
Il volo non sarebbe troppo ardito, dato che ho tratto da un testo del PNI dove già in seconda si studia il campo complesso. Infatti ci sono molti riferimenti ai numeri immaginari. Qui però è stato un mio errore di battitura.
Il volo non sarebbe troppo ardito, dato che ho tratto da un testo del PNI dove già in seconda si studia il campo complesso. Infatti ci sono molti riferimenti ai numeri immaginari. Qui però è stato un mio errore di battitura.
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