Dubbi sul problema 12 della gara di Febbraio 2016
Salve, pongo questa domanda per un'incertezza che ho sul problema 12 della gara distrettuale delle olimpadi di matematica del 2016. Il testo del problema è:
Alberto e Barbara giocano a biliardino. Prima di iniziare, decidono che la partita finirà non
appena uno dei due avrà fatto 3 gol più dell’altro. Sapendo che, per ogni pallina giocata, sia
Alberto che Barbara hanno il 50% di probabilità di segnare, qual è la probabilità che la partita
non termini prima del ventunesimo gol?
Ho pensato di ragionare così: indicando ogni vittoria di Alberto con la $ A $ e ogni vittoria di Barbara con la $ B $ , ogni partita sarà individuata da una sequenza ordinata di $ A $ e $ B $ . In tutto ho $ 2^20 $ possibili partite, che corrispondono ai casi totali.
Supponiamo che la partita al ventesimo punto non sia terminata. Necessariamente allora alla ventesima partita lo scarto di punti fra Alberto e Barbara sarà di 0, 1 o 2. Ciò corrisponde rispettivamente ai seguenti tipi di partite (e dunque sequenze):
- $ 10 $ vittorie di $ A $ e $ 10 $ di $ B $, con $ ( (20), (10) ) $ possibili partite
- $ 11 $ vittorie di $ A $ e $ 9 $ di $ B $ (o viceversa), con $ 2( (20), (11) ) $ possibili partite
- $ 12 $ vittorie di $ A $ e $ 8 $ di $ B $ (o viceversa), con $ 2( (20), (12) ) $ possibili partite
I casi favorevoli sono allora $ ( (20), (10) ) + 2( (20), (11) )+2( (20), (12) ) $ , e dividendo questa quantità per i $ 2^20 $ casi totali si ha la probabilità cercata. Ho pensato fosse lecito questo procedimento dal momento in cui la vittoria dell'uno e dell'altro sono equiprobabili ad ogni partita, ovvero ogni sequenza è equiprobabile ad ogni altra (ma forse questa conclusione è errata).
Nelle soluzioni ufficiali (che si trovano a questo link: http://olimpiadi.dm.unibo.it/wp-content ... io2016.pdf) la soluzione è completamente diversa. Cosa c'è di sbagliato nel ragionamento che ho elaborato? Ringrazio in anticipo chiunque potrà chiarire questo dubbio
Alberto e Barbara giocano a biliardino. Prima di iniziare, decidono che la partita finirà non
appena uno dei due avrà fatto 3 gol più dell’altro. Sapendo che, per ogni pallina giocata, sia
Alberto che Barbara hanno il 50% di probabilità di segnare, qual è la probabilità che la partita
non termini prima del ventunesimo gol?
Ho pensato di ragionare così: indicando ogni vittoria di Alberto con la $ A $ e ogni vittoria di Barbara con la $ B $ , ogni partita sarà individuata da una sequenza ordinata di $ A $ e $ B $ . In tutto ho $ 2^20 $ possibili partite, che corrispondono ai casi totali.
Supponiamo che la partita al ventesimo punto non sia terminata. Necessariamente allora alla ventesima partita lo scarto di punti fra Alberto e Barbara sarà di 0, 1 o 2. Ciò corrisponde rispettivamente ai seguenti tipi di partite (e dunque sequenze):
- $ 10 $ vittorie di $ A $ e $ 10 $ di $ B $, con $ ( (20), (10) ) $ possibili partite
- $ 11 $ vittorie di $ A $ e $ 9 $ di $ B $ (o viceversa), con $ 2( (20), (11) ) $ possibili partite
- $ 12 $ vittorie di $ A $ e $ 8 $ di $ B $ (o viceversa), con $ 2( (20), (12) ) $ possibili partite
I casi favorevoli sono allora $ ( (20), (10) ) + 2( (20), (11) )+2( (20), (12) ) $ , e dividendo questa quantità per i $ 2^20 $ casi totali si ha la probabilità cercata. Ho pensato fosse lecito questo procedimento dal momento in cui la vittoria dell'uno e dell'altro sono equiprobabili ad ogni partita, ovvero ogni sequenza è equiprobabile ad ogni altra (ma forse questa conclusione è errata).
Nelle soluzioni ufficiali (che si trovano a questo link: http://olimpiadi.dm.unibo.it/wp-content ... io2016.pdf) la soluzione è completamente diversa. Cosa c'è di sbagliato nel ragionamento che ho elaborato? Ringrazio in anticipo chiunque potrà chiarire questo dubbio
Risposte
Se ci sono 10 A e 10 B dopo 20 partite, ma le prime 3 partite sono vinte da A, hai un problema.
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