Dubbi sui sistemi

[abcde123451]

Ragazzi quando risolvo una disequazione con un sistema e mi vengono cose del tipo:

$(F(x))/(g(x)) > 0$ Per risolvere questa dis. utilizziamo un' unione di sistemi di cui poi faremo l'intersezione. Supponiamo che il primo sia verificato e che il secondo sia una cosa del genere:

$x^2-4 < 0$
$x^2+1 < 0$ Da risolvere a sistema avrò che la prima è risolta per valori interni mentre la seconda non ha mai soluzioni quindi A intersecato all'insieme vuoto è il vuoto , quindi questo sistema non dovrò considerarlo ai fini della risoluzione ?

Mi sono imbattuto in un altro esercizio che diceva:

$|x^2-5x+4| >= 4$ e l'ho scritto come sistema di due disequazioni:

$x^2-5x+4 >= 4$ che ha soluzioni in ]-inf;0] U [ 5; +inf[
$x^2-5x + 4 <= -4$ che non ha soluzione in quanto il delta è negativo e il segno del primo termine è discorde con quello della disequazione. A questo punto il libro mi dà come soluzioni ]-inf;0] U [ 5; +inf[ che sono quelle della prima dis. perchè in questo caso lui unisce le soluzione e non le interseca ?

[minomic]

Ciao, se hai $|f(x)|>=k$ si fa sempre l'unione (anche perchè l'intersezione non avrebbe proprio senso) visto che equivale a dire $|f(x)|$ è $>=k$ quando $f(x) >= k$ OPPURE quando $f(x) <= -k$. Se invece hai $|f(x)| < k$ la soluzione sarà $-k \begin{cases}
f(x) > -k\\ f(x) < k
\end{cases}
\] Spero di essere riuscito a rispondere alla tua domanda...

[minomic]

In questo post faccio una precisazione sulla prima parte della domanda, ovvero su come si risolve una cosa del tipo \[
\frac{f(x)}{g(x)} > 0
\] Da quanto ho capito all'utente abcde12345 è stato insegnato a fare questo: \[
\begin{cases}
&f(x)>0\\&g(x)>0
\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}
&f(x)<0\\&g(x)<0
\end{cases}
\] che equivale a dire "La frazione è positiva quando il numeratore e il denominatore hanno segno concorde, cioè sono entrambi positivi o entrambi negativi". Sebbene questo metodo sia corretto io non lo consiglierei. Per capire il motivo si provi ad applicare un simile metodo a una disequazione del tipo \[
\frac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)\cdot k(x)} > 0
\] con quattro fattori. Quante combinazioni si devono esaminare? Sicuramente troppe!
Quindi consiglio di studiare il segno di ogni fattore e riportarlo nel famoso grafico con i $+$ e i $-$ per poi fare comodamente il prodotto dei segni.

[abcde123451]

Si ho capito, la risoluzione definita come falso sistema non va proprio a genio alla mia prof universitaria perchè dice che è soggetto ad errori tipo

$(x^2)/(x^2-1) >= 0$ dà come soluzione con il prodotto dei segni ]-inf; -11; +inf[ , ma in realtà è sbagliata perchè anche x=0 è una soluzione accettabile; in questo caso si dovrebbe risolvere prima l'equazione e poi la disequazione ( metodo che io preferirei per velocità e per ordine e anche per il fatto che è meno soggetto ad errori, solo che al prof non va proprio a genio..)