Dubbi su disequazioni goniometriche
$1)$
Data la funzione $y=(sinx/(1+tan^2x))$
Quale di queste due affermazioni secondo voi va meglio?
$A$
$1+tan^2x!=0$ per ogni
$x!=90°+k180°$
$B$
nel dominio di appartenenza di $tanx$, $1+tan^2x!=0$ per ogni
$x inRR$
Secondo me vanno bene entrambe…cambia solo la forma.
$2)$
Data la disequazione $cosx>0$ quale di queste due affermazione va meglio?
$A$
La soluzione è data da $0<=x<90°vv270°
La soluzione è data da $0<=x<90°vv270°
$3)$
Data la disequazione $cotx>=3$ che può essere trasformata in
$(1/tanx>=3)$, quali sono le condizioni di esistenza?
$A$
$x!=k180°$
$B$
$x!=k180°^^x!=90°+k180°$
Secondo me la $A$
Ultimo dubbio
Data la disequazione $cosx(sinx-2)>=0$ se vado a studiare i segni dei fattori $sinx-2>=0$ è impossibile.
Ebbene in questo caso devo tener conto solo del segno di $cosx>=0$
Grazie per la collaborazione
Data la funzione $y=(sinx/(1+tan^2x))$
Quale di queste due affermazioni secondo voi va meglio?
$A$
$1+tan^2x!=0$ per ogni
$x!=90°+k180°$
$B$
nel dominio di appartenenza di $tanx$, $1+tan^2x!=0$ per ogni
$x inRR$
Secondo me vanno bene entrambe…cambia solo la forma.
$2)$
Data la disequazione $cosx>0$ quale di queste due affermazione va meglio?
$A$
La soluzione è data da $0<=x<90°vv270°
La soluzione è data da $0<=x<90°vv270°
$3)$
Data la disequazione $cotx>=3$ che può essere trasformata in
$(1/tanx>=3)$, quali sono le condizioni di esistenza?
$A$
$x!=k180°$
$B$
$x!=k180°^^x!=90°+k180°$
Secondo me la $A$
Ultimo dubbio
Data la disequazione $cosx(sinx-2)>=0$ se vado a studiare i segni dei fattori $sinx-2>=0$ è impossibile.
Ebbene in questo caso devo tener conto solo del segno di $cosx>=0$
Grazie per la collaborazione
Risposte
1) Vanno bene entrambe; il meglio mi sembra mescolarle, scrivendo "nel dominio di appartenenza di $tanx$ (cioè per $x!=90°+k*180°$), $1+tan^2x!=0$ per ogni $x in RR$" .
2) Vanno bene entrambe; la $B$ è più abituale.
3) Come dici, la $A$.
Ultimo dubbio) Come dici, si ha sempre $sinx-2<0$; quindi basta risolvere $cosx<=0$ (ho semplificato dividendo per un numero negativo). Va bene anche il diagramma dei segni, ma è più lungo.
2) Vanno bene entrambe; la $B$ è più abituale.
3) Come dici, la $A$.
Ultimo dubbio) Come dici, si ha sempre $sinx-2<0$; quindi basta risolvere $cosx<=0$ (ho semplificato dividendo per un numero negativo). Va bene anche il diagramma dei segni, ma è più lungo.
EDIT
Ho sbagliato perché mi sono confuso con quella tangente al denominatore (mentre inizialmente si parla di cotangente).
Grazie a giammaria per avermi ripreso.
Ho sbagliato perché mi sono confuso con quella tangente al denominatore (mentre inizialmente si parla di cotangente).
Grazie a giammaria per avermi ripreso.
Non concordo. Il campo di esistenza va sempre considerato sull'equazione (o disequazione) data, indipendentemente dalle successive modifiche e la cotangente ha una definizione a sé; è l'inverso della tangente solo quando entrambe esistono.
Nell'esercizio 3, se fosse $x=90°+k*180°$ otterrei $0>=3$: per caso è falsa, ma sarebbe perfettamente vera ed accettabile col verso opposto.
Il discorso piuttosto è quello contrario, simile a quello che si fa nelle equazioni omogenee; lo esemplifico con l'equazione
$cot^2x-cot x=0$
Risolvendo direttamente ho le due soluzioni
$cotx=0->x=90°+k*180°$
e $cotx=1->x=45°+k*180°$
Se invece voglio passare in tangente, debbo prima chiedermi se così facendo non perdo soluzioni cioè se $x=90°+k*180°$ è soluzione dell'equazione; appurato che lo è, comincio a scriverla e continuo con
$1/(tan^2x)-1/(tanx)=0->1-tanx=0->x=45°+k*180°$
Nell'esercizio 3, se fosse $x=90°+k*180°$ otterrei $0>=3$: per caso è falsa, ma sarebbe perfettamente vera ed accettabile col verso opposto.
Il discorso piuttosto è quello contrario, simile a quello che si fa nelle equazioni omogenee; lo esemplifico con l'equazione
$cot^2x-cot x=0$
Risolvendo direttamente ho le due soluzioni
$cotx=0->x=90°+k*180°$
e $cotx=1->x=45°+k*180°$
Se invece voglio passare in tangente, debbo prima chiedermi se così facendo non perdo soluzioni cioè se $x=90°+k*180°$ è soluzione dell'equazione; appurato che lo è, comincio a scriverla e continuo con
$1/(tan^2x)-1/(tanx)=0->1-tanx=0->x=45°+k*180°$
Nella 2) perché va bene la seconda? a $360$ il coseno vale uno, pertanto è maggiore di zero, pertanto la risposta giusta è la prima secondo me.
@ Andre@. Il punto corrispondente a $360°$ è già stato considerato quando si è scritto $0<=x$ e considerarlo nuovamente sarebbe un doppione. Non un errore, infatti ho scritto che vanno bene entrambe le soluzioni. Noto ora che è sempre stato trascurato il $+k*360°$.
"giammaria":
@ Andre@. Il punto corrispondente a $360°$ è già stato considerato quando si è scritto $0<=x$ e considerarlo nuovamente sarebbe un doppione. Non un errore, infatti ho scritto che vanno bene entrambe le soluzioni. Noto ora che è sempre stato trascurato il $+k*360°$.
come immaginavo allora
Visto che siamo in tema di chiarimenti..secondo voi è giusto verificare sempre nella soluzione di equazioni e disequazioni lineari e omognenee di secondo grado se $x=90°+k180° vv180°+k360°$ sono soluzioni.
Grazie sempre
Grazie sempre
Di solito nelle disequazioni non si fanno quei controlli perché i calcoli stessi li implicano; nelle equazioni il controllo va sempre fatto ma spesso può essere abbreviato fino a farlo a mente, di solito tralasciando di scriverlo.
Cominciamo con le lineari: se per risolvere l'equazione usi le parametriche il rischio è perdere la soluzione $x=180°+k360°$. Se però ottieni un'equazione di secondo grado, non hai perso soluzioni; basta quindi controllare il grado ottenuto.
Passiamo alle omogenee, anche di primo grado ma risolte come omogenee. Se sono veramente omogenee e se non si può mettere in evidenza $cosx$, è certo che $x!=90°+k180°$: infatti sostituendo questo valore nell'equazione si annullerebbero tutti i termini tranne quello che contiene solo il seno e l'eguaglianza sarebbe falsa. Se (nel secondo grado) c'è un termine noto, conviene prima rendere veramente omogenea l'equazione e poi controllare che non si possa mettere in evidenza $cosx$.
Cominciamo con le lineari: se per risolvere l'equazione usi le parametriche il rischio è perdere la soluzione $x=180°+k360°$. Se però ottieni un'equazione di secondo grado, non hai perso soluzioni; basta quindi controllare il grado ottenuto.
Passiamo alle omogenee, anche di primo grado ma risolte come omogenee. Se sono veramente omogenee e se non si può mettere in evidenza $cosx$, è certo che $x!=90°+k180°$: infatti sostituendo questo valore nell'equazione si annullerebbero tutti i termini tranne quello che contiene solo il seno e l'eguaglianza sarebbe falsa. Se (nel secondo grado) c'è un termine noto, conviene prima rendere veramente omogenea l'equazione e poi controllare che non si possa mettere in evidenza $cosx$.
Andiamo avanti
Ho un dubbio:
nel risolvere questa disequazione:
$tan(3x)-tan(2x)
Studiando $cos(3x)cos(2x)>0$ ho ragionato così:
$cos(3x)>0->-30°+k120°
$-30°
perciò ho trasformato $cos(3x)cos(2x)$ in un’unica funzione e sono arrivato a trovare tutti gli intervalli positivi .
E’ possibile trovare gli stessi risultati partendo dal mio primo ragionamento? Secondo me bastava fare dei giri e cercare i valori entro i $360°$
Ho un dubbio:
nel risolvere questa disequazione:
$tan(3x)-tan(2x)
Studiando $cos(3x)cos(2x)>0$ ho ragionato così:
$cos(3x)>0->-30°+k120°
$-30°
perciò ho trasformato $cos(3x)cos(2x)$ in un’unica funzione e sono arrivato a trovare tutti gli intervalli positivi .
E’ possibile trovare gli stessi risultati partendo dal mio primo ragionamento? Secondo me bastava fare dei giri e cercare i valori entro i $360°$
Quando hai fatto lo studio dei segni del denominatore devi aver commesso qualche errore: il denominatore è positivo in ben 5 intervalli sul cerchio goniometrico, mentre la tua soluzione ne riporta solo uno. Come giustamente dici, bastava trovare i valori compresi fra $0°$ e $360°$; personalmente, preferisco stare fra $-180°$ e $180°$, ma è lo stesso.
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