Dominio radici

[lisacassidy]

Buongiorno, avrei il seguente problema:

determina per quali valori di k la funzione $y=sqrt(x-2)+sqrt(k^2-x^2)$ non è definita in corrispondenza di alcun valore di x.

La soluzione è $-2
Io ho provato a ragionare nel seguente modo:

$ { ( x-2>=0 ),( k^2-x^2>=0 ):} $

$ { ( x>=2 ),( (k-x)(k+x)>=0 ):} $

$ { ( x>=2 ),( x<=-k vv x>=k ):} $

Però non saprei come giungere alla soluzione. Qualcuno mi può aiutare?

[Gi81]

Da $ (k-x)(k+x)>=0$ si ha $-|k| <= x <= |k|$.

Quindi le condizioni di esistenza sono:
$ { ( x>=2 ),( -|k| <= x <= |k| ):} $

Bisogna trovare tutti i $k in RR$ tali che questo sistema non ha soluzioni.

[lisacassidy]

Essendo un sistema le soluzioni dovrebbero essere quelle in comuni. Quindi non ammette soluzioni quando è minore di 2 per la la prima condizione. Ma come faccio a dire che deve essere compreso tra -2 e 2? Scusa ma non capisco proprio come risolverlo.

[Gi81]

Distinguiamo due casi: $k>=0$ e $k<0$.


Caso $k>=0$:
Le condizioni di esistenza diventano: $ { ( x>=2 ),( -k <= x <= k ):} $
che per comodità possiamo scrivere così:
$ { ( x>=2 ),( x <= k ),( x >= -k ):} $
La prima disequazione è più "forte" della terza, perché se $x$ è maggiore o uguale a 2, sicuramente è maggiore o uguale di qualsiasi numero negativo o nullo. Quindi possiamo togliere la terza disequazione:
$ { ( x>=2 ),( x <= k ):} $

Ora, ricordando che siamo nel caso $k>=0$,

[*:3ec58v4y]se $0<=k <2$....[/*:m:3ec58v4y]
[*:3ec58v4y]se $k =2$....[/*:m:3ec58v4y]
[*:3ec58v4y]se $k >2$....[/*:m:3ec58v4y][/list:u:3ec58v4y]Quindi....