Dominio radice quadrata e valore assoluto
Consideriamo le due funzioni:
$f(x)= sqrt (x^2)$
$g(x)=|x|$
e ricaviamone il dominio.
Secondo ciò che so per quanto riguarda $f(x)$, essendoci una radice quadrata (quindi pari) devo considerare come validi per il dominio i valori per cui l'argomento è $>= 0$; tuttavia essendo l'intero argomento elevato al quadrato, è chiaro che questi valori sono tutti i valori appartenenti ad $RR$ che è quindi il dominio di $f(x)$.
$g(x)$ non prevede alcuna limitazione a causa del valore assoluto e quindi si può dire che ha come dominio tutto $RR$. Riflettendo, si possono considerare $f(x)$ e $g(x)$ come la stessa funzione espressa in modo differente.
Questo ragionamento è corretto?
Se sì, perché wolframalpha mi da come dominio della $f(x)$ solo i numeri $>=0$ ed invece per la $g(x)$ tutto $RR$?
Se no, potete aiutarmi a capire il mio errore che a questo punto credo sia una carenza non da poco?
Grazie!
$f(x)= sqrt (x^2)$
$g(x)=|x|$
e ricaviamone il dominio.
Secondo ciò che so per quanto riguarda $f(x)$, essendoci una radice quadrata (quindi pari) devo considerare come validi per il dominio i valori per cui l'argomento è $>= 0$; tuttavia essendo l'intero argomento elevato al quadrato, è chiaro che questi valori sono tutti i valori appartenenti ad $RR$ che è quindi il dominio di $f(x)$.
$g(x)$ non prevede alcuna limitazione a causa del valore assoluto e quindi si può dire che ha come dominio tutto $RR$. Riflettendo, si possono considerare $f(x)$ e $g(x)$ come la stessa funzione espressa in modo differente.
Questo ragionamento è corretto?
Se sì, perché wolframalpha mi da come dominio della $f(x)$ solo i numeri $>=0$ ed invece per la $g(x)$ tutto $RR$?
Se no, potete aiutarmi a capire il mio errore che a questo punto credo sia una carenza non da poco?
Grazie!
Risposte
"SiSaD":
Se sì, perché wolframalpha mi da come dominio della $f(x)$ solo i numeri $>=0$ ed invece per la $g(x)$ tutto $RR$?
Mi sembra strano... comunque a me wolfram dà come dominio tutto $\RR$.
Cito:
<<
Domain
$\RR$ (all real numbers)
Range
${f\in \RR, f \ge 0}$ (all non-negative real numbers)
Parity
even
>>
Forse che sbagli pensando a "range" che non è il dominio e se il mio inglese vale qualcosa dovrebbe essere l'immagine.
Il fatto che $\sqrt{x^2} = |x|$ e non $\sqrt{x^2} = x$ è vero. Questo avviene perché l'elevamento al quadrato non ci permette di risalire al segno originale di x. Il modulo di x non ci fa quindi perdere di generalità e ci fornisce solo un valore positivo indipendentemente dal fatto che l'x originale fosse positivo o negativo (questo poiché per convenzione si considera solo il valore positivo della radice quadrata quando questa esiste). Tra l'altro questo "trabocchetto" ama porlo spesso chi è attento ed ama la matematica alle persone e, almeno nel mio caso, quando chiedo loro "Quanto fa $\sqrt{x^2}$?" mi viene risposto quasi puntualmente "x" (a meno che non abbia davanti uno a cui piace la matematica 
).
Sicuro comunque di non aver commesso errori nella digitazione, visto che anche a Zero87 il Wolfram dà il risultato atteso
).Sicuro comunque di non aver commesso errori nella digitazione, visto che anche a Zero87 il Wolfram dà il risultato atteso
Ragazzi dovete scusarmi, ma effettivamente si tratta di un errore di digitazione e non di concetto (per fortuna!).
Infatti inserivo sqrtx^2 invece che sqrt(x^2) e la cosa chiaramente comportava una netta differenza in fatto di campo di esistenza, poiché in quel caso chiaramente l'argomento della radice era solo x.
Ovviamente:
$sqrt(x^2) != sqrtx^2$
Grazie cmq per le conferme e spero possiate rispondere a qualcuna delle prossime domande che indubbiamente porrò
Infatti inserivo sqrtx^2 invece che sqrt(x^2) e la cosa chiaramente comportava una netta differenza in fatto di campo di esistenza, poiché in quel caso chiaramente l'argomento della radice era solo x.
Ovviamente:
$sqrt(x^2) != sqrtx^2$
Grazie cmq per le conferme e spero possiate rispondere a qualcuna delle prossime domande che indubbiamente porrò
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