Dominio funzione potenza
Perché in un funzione potenza con l'esponente costante irrazionale positivo, $f(x)$ deve essere maggiore o uguale a 0.
Cioè $y=f(x)^sqrt(5)$ deve essere $f(x)>=0$
Cioè $y=f(x)^sqrt(5)$ deve essere $f(x)>=0$
Risposte
Immagino sia una condizione di sicurezza, perché se in una potenza l'esponente è un numero con la virgola, allora può essere scritto come radice ennesima di un numero e può capitare che la radice sia proprio di indice pari come per la seguente potenza
\(\displaystyle a^{0.25}=a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a}\)
Che impone che $a\geq 0$
\(\displaystyle a^{0.25}=a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a}\)
Che impone che $a\geq 0$
Ma i numeri irrazionali positivi non possono essere scritti come frazioni.
Non vedo un motivo preciso per cui una potenza con esponente irrazionale debba avere base per forza positiva, pertanto penso sia una condizione di un esercizio che magari stai svolgendo in ogni caso anche per la tua stessa potenza ponendo $f(x)=-2$ cioè fuori dalla condizione si avrebbe
\(\displaystyle (-2)^{\sqrt{5}}\cong 4.71\)
Come vedi il risultato è possibile
\(\displaystyle (-2)^{\sqrt{5}}\cong 4.71\)
Come vedi il risultato è possibile
Non capisco come hai ottenuto il risultato che scrivi: la mia calcolatrice dice che è un calcolo impossibile. Proviamo a vederlo così: $(-2)^x$ è positivo se $x$ è pari, negativo se $x$ è dispari. Però $sqrt5=2,236...$ non è né pari né dispari: e allora che segno metti? Se non puoi stabilire il segno, non puoi dare un risultato.
giammaria con la calcolatrice di windows, comunque penso sia logico il tuo motivo 
, in ogni caso ho scoperto che è generica la condizione e cioè il radicando deve essere sempre positivo, infatti ad esempio considera le seguenti radici
\(\displaystyle (-64)^{1/3}=\sqrt[3]{-64}=-4\)
\(\displaystyle (-64)^{2/6}=\sqrt[6]{(-64)^2}=4\)
Quale delle due espressioni è quella giusta? quindi il segno va gestito fuori dalla radice e non dentro.
Comunque ho provato con una calcolatrice differente a quella di windows e mi da impossibile, è complicato gestire numeri irrazionali come esponenti, non ci ho mai pensato..
, in ogni caso ho scoperto che è generica la condizione e cioè il radicando deve essere sempre positivo, infatti ad esempio considera le seguenti radici\(\displaystyle (-64)^{1/3}=\sqrt[3]{-64}=-4\)
\(\displaystyle (-64)^{2/6}=\sqrt[6]{(-64)^2}=4\)
Quale delle due espressioni è quella giusta? quindi il segno va gestito fuori dalla radice e non dentro.
Comunque ho provato con una calcolatrice differente a quella di windows e mi da impossibile, è complicato gestire numeri irrazionali come esponenti, non ci ho mai pensato..
Tu stesso hai trovato una spiegazione del motivo per cui un numero negativo può essere elevato solo ad esponenti interi: quindi, a rigore matematico, le calcolatrici dovrebbero segnare errore anche per $(-64)^(1/3)$. Per permettere agli utilizzatori di calcolare anche radici terze o quinte o simili, molte calcolatrici fanno però una deroga ed accettano che un numero negativo sia elevato ad esponenti del tipo $1/n$ (con $n$ dispari e, credo, non troppo grande). Sulla mia calcolatrice non ci sono altre deroghe: accetta il calcolo che ho indicato, ma rifiuta $(-64)^(2/3)$ che, interpretato come radice, dà un chiaro risultato.
Comunque una prova sicura del fatto è la seguente
\(\displaystyle f(x)^a=b\)
\(\displaystyle a=\log_{f(x)} b\)
\(\displaystyle a=\frac{\ln b}{\ln f(x)}\)
Quindi $f(x)>0$
\(\displaystyle f(x)^a=b\)
\(\displaystyle a=\log_{f(x)} b\)
\(\displaystyle a=\frac{\ln b}{\ln f(x)}\)
Quindi $f(x)>0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo