Dominio funzione in due variabili

[Marco1985Mn]

rieccomi di nuovo.
Oggi mi sono trovato sinceramente un attimo confuso. Strano no?
ho davanti questo esercizio: determina il dominio della seguente funzione in due variabili.

$z=sqrt(x^2+y^2-2x)+sqrt(y-x^2)$

Sinceramente ho pensato di risolverlo per via grafica, ricavando i dati della circonferenza quali centro e raggio e i dati della parabola.
Ho poi impostato il sistema con le due condizioni di esistenza

$x^2+y^2-2x>=0$
$y-x^2>=0$

Ho disegnato circonferenza e parabola e poi ho preso un punto esterno e interno alla circonferenza, verificando quale dei due rendesse vera la relativa condizione di esistenza.
La parte di piano in cui si trovava il punto che verificava la condizione di esistenza è quella da tenere, l'altra da scartare. Idem per la parabola.
Incrociando le parti di piano dove sono entrambe verificate si trova la soluzione.
Domanda: è prevista anche una soluzione per via algebrica? perchè io sinceramente non l'ho mai vista.
Grazie

[@melia]

L’unica risposta è quella che hai dato tu. Non è possibile scrivere una soluzione algebrica.

[Noodles1]

"Marco1005":
Domanda: è prevista anche una soluzione per via algebrica?

Premesso che, dopo aver fatto il grafico, le soluzioni possono essere scritte come:

$x lt= 0 vv x gt= 1rarr y gt= x^2$

$0 lt x lt 1 rarr y gt= sqrt(2x-x^2)$

se sei sufficientemente abile nel trattare le disequazioni parametriche, puoi arrivare alle soluzioni anche senza fare il grafico, algebricamente per intenderci. Vero è che, alle superiori, non essendo sufficientemente abili, si procede solo graficamente.

[Marco1985Mn]

Grazie per le risposte.
per quanto riguarda la risoluzione per via algebrica arrivavo alla prima ma alla seconda mi sono fermato

[Noodles1]

Per quanto riguarda la prima:

$x^2+y^2-2x gt= 0 rarr y^2 gt= 2x-x^2$

è necessario distinguere due casi:

Caso 1

$[2x-x^2 lt= 0] ^^ [AA y in RR] rarr [x lt= 0 vv x gt= 2] ^^ [AA y in RR ]$

Caso 2

$[2x-x^2 gt 0] ^^ [-sqrt(2x-x^2) lt= y lt= sqrt(2x-x^2)] rarr [0 lt x lt 2] ^^ [-sqrt(2x-x^2) lt= y lt= sqrt(2x-x^2)]$

Per quanto riguarda la seconda:

$y-x^2 gt= 0 rarr y gt= x^2$

è sufficiente:

$[AA x in RR] ^^ [y gt= x^2]$

A questo punto, mentre il primo sistema è facilmente risolvibile:

$[x lt= 0 vv x gt= 2] ^^ \{(AA y in RR),(y gt= x^2):} rarr [x lt= 0 vv x gt= 2] ^^ [y gt= x^2]$

il secondo sistema:

$[0 lt x lt 2] ^^ \{(-sqrt(2x-x^2) lt= y lt= sqrt(2x-x^2)),(y gt= x^2):}$

richiede che si confrontino i valori sottostanti della y:

$sqrt(2x-x^2)$

$x^2$

risolvendo, per esempio, la disequazione sottostante:

$sqrt(2x-x^2) gt= x^2 rarr 2x-x^2 gt= x^4 rarr x^4+x^2-2x lt= 0 rarr x(x-1)(x^2+x+2) lt= 0 rarr 0 lt= x lt= 1$

Insomma, anche se il procedimento non è ancora concluso, poteva andare molto peggio.

[Marco1985Mn]

Complimenti per i calcoli. Mi sarei già impappinato. me lo riguardo con molta calma