Dominio funzione

[Marco103]

Con una funzione di questo genere $f(x)= log[3x+log(4x)]$ ho dei dubbi sul dominio:

devono valere entrambe:
$3x+log(4x) > 0$
$4x > 0$

$log(4x) > -3x$
$4x > 0$

ed ora mi viene il dubbio se è giusto fare così:
$4x > e^(-3x)$

elevo entrambi i membri per -1/3

$(4x)^(-1/3) < e^(x)$

(dovrei porre anche x>0 in teoria quando elevo entrambi i membri altrimenti cambia segno?)

ed ora graficamente mi sembra che valga sempre per x>0, va bene così?

[giammaria2]

I tuoi calcoli sono giusti: elevare ad 1/3, cioè estrarre la radice cubica, non modifica la disequazione e prendere il segno meno ad esponente, cioè calcolare l'inverso, applicato fra numeri positivi (è il tuo caso) inverte il verso della disequazione. Però a cosa servono? A me sembra che la disequazione finale sia peggiore dell'iniziale.
Suggerisco invece il metodo grafico: disegni le curve $y_1=4x$ e $y_2=e^(-3x)$ e guardi dove è $y_1>y_2$. La soluzione non è lo zero, ma un numero di poco superiore; ad occhio (ma dovrei fare il grafico un po' meglio) direi x>0,1 circa.
In alternativa, puoi risparmiarti un altro passaggio e risolvera graficamente $l\ogx> -3x-l\og4$.