Dominio e codominio di una funzione sul piano cartesiano
Dominio e codominio di una funzione sul piano cartesiano e vedere se f è iniettiva e/o suriettiva
y= 2x-1/x2-7
y= 2x-1/x2-7
Risposte
La funzione è
Trattandosi di funzione fratta, al numeratore non vi è nessuna limitazione, il denominatore dovrà essere diverso da 0, pertanto avremo
Per il codominio, dovremo ricavare il valore di x
E siccome dobbiamo ricavare l'equazione in funzione di x, tratteremo y come fosse un valore noto (pertanto per la formula risolutiva delle equazioni secondo grado, consideriamo a=y, b=-2, c=1-7y)
Usando la formula ridotta
Da cui avremo per le limitazione dell'equazione fratta,
In quanto il delta è negativo, e dunque la disequazione sempre verificata
Pertanto non è immagine del dominio y=0.
Il codominio dovrebbe dartelo l'esercizio in realtà.. Perché l'insieme delle immagini di x non è necessariamente il codominio (altrimenti non avrebbe senso parlare di suriettività...
Mi spiego meglio..
Considera, ad esempio, la parabola y=x^2
Questa ha immagini per y>=0..
Ma in generale ha come codominio tutto R (fatte salve limitazioni imposte dallo studio della funzione)
Per tale ragione, la parabola non è suriettiva, perché non tutti i valori in R di y sono immagine di x (ad esempio y=-1 appartiene al codominio, ma non è immagine di alcun valore di x; se si limita il codominio all'insieme dei reali positivi o nullo, allora la parabola è suriettiva)
Non avendo dunque il codominio definito dall'esercizio, non è possibile stabilire se la funzione è suriettiva nel codominio (che non sappiamo), ma se si assume invece che il codominio coincida con l'insieme delle immagini, (ovvero tutto R ad eccezione di zero) allora diremo che la funzione è suriettiva, in quanto per ogni immagine avremo una controimmagine)
La funzione non è iniettiva in quanto vi sono per alcuni valori di y, due valori di x (infatti esprimendo l'equazione in funzione di y, abbiamo un'equazione di secondo grado e quindi due soluzioni per almeno un valore. ti basta risolvere l'equazione e sostituire a y un valore ammesso dall'insieme delle immagini per confermare quanto detto)
Ad esempio per y=1 avrai x= 2 + radice 5 e x = 2-radice 5.
Pertanto per due valori diversi di x ottieni lo stesso valore di y.
La funzione dunque non è bijettiva e quindi non invertibile.
Spero di aver fatto tutti i conti correttamente, ma il concetto vale comunque anche se dovessi aver commesso qualche errore di conto :)
[math] y= \frac{2x-1}{x^2-7} [/math]
Trattandosi di funzione fratta, al numeratore non vi è nessuna limitazione, il denominatore dovrà essere diverso da 0, pertanto avremo
[math] x \ne \pm \sqrt7[/math]
Per il codominio, dovremo ricavare il valore di x
[math] y (x^2-7) = 2x - 1 [/math]
[math] x^2y - 7y -2x +1 = 0 \to yx^2 - 2x + 1 - 7y=0 [/math]
E siccome dobbiamo ricavare l'equazione in funzione di x, tratteremo y come fosse un valore noto (pertanto per la formula risolutiva delle equazioni secondo grado, consideriamo a=y, b=-2, c=1-7y)
Usando la formula ridotta
[math] x= \frac{2 \pm \sqrt{1-(y)(1-7y)}}{y} [/math]
[math] x= \frac{2 \pm \sqrt{1-y+7y^2}}{y} [/math]
Da cui avremo per le limitazione dell'equazione fratta,
[math] y \ne 0 [/math]
e [math] 7y^2-y+1 \ge 0 [/math]
[math] 7y^2-y+1 \ge 0 \forall x \in R [/math]
In quanto il delta è negativo, e dunque la disequazione sempre verificata
Pertanto non è immagine del dominio y=0.
Il codominio dovrebbe dartelo l'esercizio in realtà.. Perché l'insieme delle immagini di x non è necessariamente il codominio (altrimenti non avrebbe senso parlare di suriettività...
Mi spiego meglio..
Considera, ad esempio, la parabola y=x^2
Questa ha immagini per y>=0..
Ma in generale ha come codominio tutto R (fatte salve limitazioni imposte dallo studio della funzione)
Per tale ragione, la parabola non è suriettiva, perché non tutti i valori in R di y sono immagine di x (ad esempio y=-1 appartiene al codominio, ma non è immagine di alcun valore di x; se si limita il codominio all'insieme dei reali positivi o nullo, allora la parabola è suriettiva)
Non avendo dunque il codominio definito dall'esercizio, non è possibile stabilire se la funzione è suriettiva nel codominio (che non sappiamo), ma se si assume invece che il codominio coincida con l'insieme delle immagini, (ovvero tutto R ad eccezione di zero) allora diremo che la funzione è suriettiva, in quanto per ogni immagine avremo una controimmagine)
La funzione non è iniettiva in quanto vi sono per alcuni valori di y, due valori di x (infatti esprimendo l'equazione in funzione di y, abbiamo un'equazione di secondo grado e quindi due soluzioni per almeno un valore. ti basta risolvere l'equazione e sostituire a y un valore ammesso dall'insieme delle immagini per confermare quanto detto)
Ad esempio per y=1 avrai x= 2 + radice 5 e x = 2-radice 5.
Pertanto per due valori diversi di x ottieni lo stesso valore di y.
La funzione dunque non è bijettiva e quindi non invertibile.
Spero di aver fatto tutti i conti correttamente, ma il concetto vale comunque anche se dovessi aver commesso qualche errore di conto :)
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