Dominio di una funzione logaritmica

[simonsays92]

Salve, ho una nuova difficoltà di comprensione. Devo studiare questa funzione:
$ln[(x+1)(x-3)]$. Ponendo l'argomento del logaritmo $>0$, si trova che il dominio è $x<-1$ U $x>3$.

Se però riscrivo la funzione in modo alternativo, ossia $ln(x+1)+ln(x-3)$, si pongono i due argomenti $>0$ e mettendo a sistema si trova che il dominio è $x>3$. Qualcuno potrebbe spiegarmi questa incongruità?

[Lo_zio_Tom]

"SimonSays92":

Se però riscrivo la funzione in modo alternativo, ossia $ln(x+1)+ln(x-3)$

Se controlli le proprietà dei logaritmi ti accorgi che ciò non è lecito

[andar9896]

Semplicemente perché sono due funzioni diverse! Non puoi maneggiarle prima di calcolare il dominio o rischi di perderti qualcosa... mi spiego meglio con un altro esempio.
Prendiamo $f(x) = (x^2-4)/(x-2)$ il cui dominio è evidentemente $x!=2$: se io scompongo e semplifico ottengo $f(x)=x+2$ il cui dominio è $RR$, ma resta il fatto che per $x=2$ la mia funzione non è definita. (tra l'altro questo è il classico esempio di una discontinuità di terza specie)

[Indrjo Dedej]

"andar9896":Semplicemente perché sono due funzioni diverse!

Provo con altre parole: in $f(x)=ln(x+1)+ln(x-3)$ i due binomi devono essere entrambi positivi, mentre in $g(x)=ln[(x+1)(x-3)]$ possono essere anche entrambi negativi. Nel primo caso il dominio è $(3; + oo)$ mentre nel secondo caso $(-oo;-1) cup (3;+oo)$. Le due funzioni sono perciò diverse. Però le restrizioni di entrambe le funzioni a $(3;+oo)$ sono uguali come voleva farti notare tommik.
Un esempio simile è questo: cosa cambia da $sqrt((x-1)(x+2))$ e da $sqrt(x-1)sqrt(x+2)$ ?

[anto_zoolander]

La stessa cosa vale per $f(x)=1/(1/x)$ che non è uguale a $x$ a meno che non si imponga $xne0$. Poi magari per quanto riguarda il prolungarla per continuita, se ne parla.

In generale se ti danno una funzione, devi trovare il dominio di quella e poi se ne parla.

[@melia]

Il dominio di $ln[(x+1)(x-3)]$ è $x<-1$ U $x>3$, la funzione può essere scritta

$ln(-x-1)+ln(3-x)$ quando $x< -1$ e

$ln(x+1)+ln(x-3)$ quando $x>3$ ovvero

$ \{(ln(-x-1)+ln(3-x) if x< -1),(ln(x+1)+ln(x-3) if x>3):}$

perché $ln[(x+1)(x-3)] =ln[(-x-1)(3-x)]$

[Indrjo Dedej]

Potrei fare un esempio:
$f(x)=x sqrt(2)$.
Se $x geq 0$, allora $f(x)=sqrt(2x^2)$, mentre $forall x in(-oo;0),f(x)=-sqrt(2x^2)$. Come si scrivono i sistemi(la parentesi graffa e come si fanno separare su più righe equazioni e disequazioni)? E "In" come si scrive?

[@melia]

$ln$ con la elle e la enne minuscole e non $In$ con la i maiuscola e la enne minuscola.
È già la seconda volta che te le correggo. Ho pensato a una qualche difficoltà visiva (tipo uno che scrive su un tablet o su un telefonino).
Per le altre formule
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
c'è tutto quello che hai chiesto.

[simonsays92]

Grazie a tutti.