Dominio di una funzione goniometrica

[stellina171]

Salve,
Ho questa funzione $y=sqrt(cosx*senx)$ da determinare il dominio: C.E. $senx*cosx>=0$
come prima cosa utilizzando le formule parametriche avrò questa nuova disequazione
$t=tg(x/2)$ $(2t(1-t^2))/(1+t^2)^2>=0$
e come soluzioni: $tg(x/2)<=-1$ ==> $\pi/2+k\pi $\pi+2k\pi
$0<=tg(x/2)<=1$ ==> $-\pi/4+k\pi<=x/2<=\pi/4+k\pi$ ==> $-\pi/2+2k\pi<=x<=\pi/2+2k\pi$

il libro invece come dominio prende in considerazione "il 1°quadrante"!
che errore sto facendo io invece
grazie

[mgrau]

$sin(x)cos(x) = 1/2 sin(2x)$
quindi devi avere $sin(2x) >= 0$ cioè $0 <= 2x <= \pi$ ossia x nel primo quadrante

[igiul1]

Sicuro che il libro prende in considerazione solo il primo quadrante e non anche il terzo? Hai controllato la periodicità?

La tua impostazione è corretta, ma...

$ 0<=tg(x/2)<=1 $ ==> $0+kpi<=x/2<=pi/4+kpi$

Puoi anche procedere come indicato da "mgrau" aggiungendo la periodicità, oppure semplicemente osservando che $sen$ e $cos$ hanno lo stesso segno nel 1° e nel 3° quadrante.

[stellina171]

grazie, ho visto l'errore ...
esatto hai ragione il libro considera il primo quadrante con la periodicità di $\pi$

e già che ci sono chiedo anche quest'altra di funzione che non riesco a capire il risultato del libro
$y=log sen(x-3)+sqrt(16-x^2)$
metto a sistema questi condizioni: $sen(x-3)>0$ .... $16-x^2>=0$ .... x diverso da 3
i risultati del libro sono : ${3-2\pi ma non capisco come fa ad arrivarci a questo risultato
grazie

[igiul1]

Concordo solo con questa soluzione: $ 3
Non capisco da dove venga fuori l'altro intervallo dove il $sen$ è quasi sempre negativo e quindi non esiste il logaritmo.

[stellina171]

esatto... figuriamoci io a capire da dove avrà tirato fuori il libro, il primo intervallo di dominio

[orsoulx]

Mi pare che, questa volta, sia corretta la risposta del testo: l'intervallo riportato, una volta sottratto il $ 3 $, coincide con i primi due quadranti, dove il seno è positivo.
Ciao

[stellina171]

mmm forse ho capito la tua risposta
ma come ci si arriva a quell'intervallo
grazie

[orsoulx]

Devi mettere a sistema le soluzioni di due disequazioni, quella con il seno è periodica, l'altra (della radice) no.
Non so se tu sia abituata a ragionare sulla circonferenza trigonometrica o sull'asse delle ascisse.
Nel secondo caso le soluzioni del seno sono intervalli di ampiezza $ pi $, in cui ci sono le ascisse accettabili, separati da intervalli della stessa ampiezza cui appartengono i valori proibiti (i punti di confine, dove il seno vale zero, non sono digeriti dal logaritmo).
La presenza del $ -3 $ ti costringe a traslare il tutto di 3 unità verso destra oppure, più semplicemente, a spostare l'origine di tre unità verso sinistra. A questo punto devi osservare quali soluzioni sono comprese nell'intervallo $ [-4,4] $ fornito dalla radice.
Ciao

[stellina171]

forse faccio prima a far vedere i miei procedimenti per trovare l'errore
dunque ho messo a sistema : (l'ultima condizione è per me )
$\{(sen(x-3)>0),(16-x^2>=0),(x!=3):}$ $\{(0+2k\pi<(x-3)<\pi+2k\pi),(-4<=x<=4),(x!=3):}$
e poi non so ... mi ci vuole quel tocco che solo i matematici hanno, aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere e via con il risultato ... ma io non sono e non sarò mai una matematica

[orsoulx]

OK Vediamo di superare questo ostacolo.
Manca qualche cosa, l'ultima condizione è per te, ma poco male: a livello simbolico ci siamo.
Adesso prova a dirmi, in italiano, il significato di quello che hai scritto. Nell'ordine di difficoltà:
- la parentesi graffa;
- la seconda coppia di diseguaglianze;
- la prima coppia di diseguaglianze ed, in particolare, il k che vi compare.
Ciao

[stellina171]

"la parentesi graffa": che è un sistema e di conseguenza dobbiamo considerare il risultato finale come l'intersezione dei risultati dei due disequazioni.
"la seconda coppia di diseguaglianze": è la condizione indispensabile affinché quel radicale avesse senso in R... e solo in quel intervallo ha senso in R quel radicale.
"la prima coppia di diseguaglianze ed, in particolare, il k che vi compare": invece questa è la condizione necessaria affinche il logaritmo della nostra funzione avesse senso in R,.... in particolare quando il seno di (x-3) è maggiore di 0... quando (x-3) è compreso tra 0 e $\pi$, ... il k indica la periodicità della funzione seno

[orsoulx]

Perdonami, so di sottoporti ad una sorta di tortura, ma se non riesco a capire cosa ti impedisce di concludere da sola l'esercizio, non posso neppure aiutarti.
Non mi interessavano i riferimenti alla provenienza di quelle diseguaglianze, ma piuttosto il loro significato.
Comunque, bene per le prime due richieste, fai ancora uno sforzo e spiegami meglio il significato di quel k.
Se mi chiedo, ad esempio, se $ x=-100 $ soddisfa la prima coppia (che non è una singola coppia) di diseguaglianze, cosa posso fare?
Ciao

[stellina171]

ok, forse ho capito cosa chiedi... in questo sistema non ha senso k... , perché tanto devo considerare l'intervallo [-4,4] e con qualsiasi k andiamo fuori intervallo ecc... ma la cosa che dall'inizio a me non torna è esattamente questo passagio
ma $0 effettivamente ed ovviamente il primo intervallo che il libro prende in considerazione è sempre all'interno dell'intervallo[-4,4] ... ma non capisco come arriva a quel intervallo
grazie e grazie ancora per la pazienza e gentilezza

[orsoulx]

Non scappare che, forse, siamo vicini alla meta ed il $ k $ è fondamentale.
Lascia perdere, per ora, la seconda coppia; quel che dici potrebbe anche andar bene in questo esercizio, ma non ti aiuterebbe in altre situazioni.
Ti ho fatto una domanda precisa: come procedi per vedere se $ x =-100 $ soddisfa la prima condizione?
Ciao

[stellina171]

beh per vedere se $x=-100$ soddisfa la prima condizione teoricamente basta vedere che $sen(-100-3)<0$ o semplicemente che -100 non è compreso nel intervallo $[3,3+\pi]$ a meno che non aggiungiamo 2k\pi
che però comunque questa diseguaglianza $sen(-100-3)<0$ rimane lo stesso
sto peggio di prima

[orsoulx]

Dai, che per guarire bisogna soffrire un po'!! Continui a voltarti indietro invece di guardare avanti. Stiamo ragionando sul sistema (anzi sulla sola prima riga di questo), da dove sia nato dimentichiamolo. Come fai a stabilire se $ x=-10 $ (non è una distrazione ho volutamente eliminato uno 0) è una soluzione?
Ciao e..coraggio

[stellina171]

no
guardando questo intervallo $3+2k\pi

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[orsoulx]

La risposta è giusta, ma non capisco da dove l'hai tirata fuori.
Proviamo con $ x=-9 $, questa volta la risposta è sì, pero dovresti spiegarmi perché.
Ciao

[stellina171]

spiegare
sempre inserendo i valori che mi dai nella disequazione $sen(x-3)>0$
x=-100 ...sen(-103)= -0,62
x=-10 ... sen(-13)=-0,42
x=-9 ---sen(-12)=0,54

[orsoulx]

Arrrgh!
Ma non si era stabilito di dimenticare la provenienza di quella malefica prima riga???
Ciao