Dominio di questa funzione
Ciao a tutti stavo controllando alcune soluzioni della mia docente e, a quanto pare trovo strano il dominio di questa funzione:
$f(t)=x*1/t-lnx$
la prof ha scritto:
$D_f=]0;+oo[$
ma secondo me nn e' molto corretto, cioè io avrei dato il dominio di $x$ e quello di $t$
ossia:
$D_x=]0;+oo[$
$D_t=]-oo;0[\cup]0;+oo[$
quindi potrei avere $x=4$ e $t=-2$
ma con la soluzione o meglio il dominio della prof escluderei, per esempio, la soluzione che ho indicato alla riga sopra
in quanto il suo dominio include soltanto $]0;+oo[$
cosa ne pensate?
grazie
$f(t)=x*1/t-lnx$
la prof ha scritto:
$D_f=]0;+oo[$
ma secondo me nn e' molto corretto, cioè io avrei dato il dominio di $x$ e quello di $t$
ossia:
$D_x=]0;+oo[$
$D_t=]-oo;0[\cup]0;+oo[$
quindi potrei avere $x=4$ e $t=-2$
ma con la soluzione o meglio il dominio della prof escluderei, per esempio, la soluzione che ho indicato alla riga sopra
in quanto il suo dominio include soltanto $]0;+oo[$
cosa ne pensate?
grazie
Risposte
Ciao,
secondo me hai ragione tu, perchè da come hai scritto la funzione la variabile indipendente è $t$ e il parametro è $x$ (quando invece di solito è il contrario e secondo me la tua prof si sarà confusa su questo particolare). Il dominio ho verificato pure io e mi sembra apposto come lo hai scritto te
secondo me hai ragione tu, perchè da come hai scritto la funzione la variabile indipendente è $t$ e il parametro è $x$ (quando invece di solito è il contrario e secondo me la tua prof si sarà confusa su questo particolare). Il dominio ho verificato pure io e mi sembra apposto come lo hai scritto te
Senza dubbio le condizioni che diceva giogiomogio sono corrette.
In ogni caso potrebbe aver ragione anche la prof. Mi spiego: quell'espressione potrebbe venire da qualche fenomeno fisico (modellazione di qualcosa) o altro e quella $t$ potrebbe essere un parametro mai nullo per definizione.
In conclusione quello che dite è sicuramente giusto ma il contesto dal quale deriva questa espressione potrebbe rendere superflue le osservazioni sulla $t$, che comunque restano corrette.
In ogni caso potrebbe aver ragione anche la prof. Mi spiego: quell'espressione potrebbe venire da qualche fenomeno fisico (modellazione di qualcosa) o altro e quella $t$ potrebbe essere un parametro mai nullo per definizione.
In conclusione quello che dite è sicuramente giusto ma il contesto dal quale deriva questa espressione potrebbe rendere superflue le osservazioni sulla $t$, che comunque restano corrette.
grazie per le risposte ragazzi
in pratica dovevo calcolare la derivata di $f(t)=x*lnt-t*lnx$
di cui $f'(t)=x*1/t-lnx$
e che dire ... la prof ha messo il dominio indicato, ma per me e' quello che ho citato.
magari questo particolare puo essere d'aiuto per trovare una giustificazione al topic di minomic
oppure ha proprio sbagliato....
martedi le chiedero' e vi faro puntualmente sapere
in pratica dovevo calcolare la derivata di $f(t)=x*lnt-t*lnx$
di cui $f'(t)=x*1/t-lnx$
e che dire ... la prof ha messo il dominio indicato, ma per me e' quello che ho citato.
magari questo particolare puo essere d'aiuto per trovare una giustificazione al topic di minomic
oppure ha proprio sbagliato....
martedi le chiedero' e vi faro puntualmente sapere
Il dominio di $f(t)$ è in effetti $]0;+infty[$ (sia per $x$ che per $t$).
Ah scusate, non avevo visto che è $f(t)$ e non $f(x)$...
scusate ma non capisco...
$t$ può avere valori negativi ... no ?
$t$ può avere valori negativi ... no ?
La funzione è $x ln(t) - t ln(x)$. Qual è il dominio di questa funzione?
"Pianoth":
La funzione è $x ln(t) - t ln(x)$. Qual è il dominio di questa funzione?
in questo caso e' giustamente $]0;+oo[$
ma il dominio della derivata a parer mio non e' lo stesso.
l'esercizio chiedeva il dominio della derivata.
Se la funzione non è definita per valori negativi, come fa ad essere definita la derivata?
in effetti hai ragione, non ci avevo pensato ...
quindi bisogna sempre basarsi sul dominio della funzione principale per poter dare il dominio della derivata giusto ?
perche la funzione della derivata effettivamente ha un dominio piu ampio della funzione da cui essa stessa ne deriva no?
quindi bisogna sempre basarsi sul dominio della funzione principale per poter dare il dominio della derivata giusto ?
perche la funzione della derivata effettivamente ha un dominio piu ampio della funzione da cui essa stessa ne deriva no?
Cerchiamo di capirci: se una funzione non esiste, non può esistere neanche la sua derivata. In genere questo non dà problemi, perché studiando il dominio della derivata ci si ritrova all'interno di quello della funzione iniziale (ne può essere escluso qualche punto), ma la cosa non succede quando c'è un logaritmo. Mi spiego con un esempio facile:
Data la funzione $f(x)=lnx->f'(x)=1/x$, studiare il dominio di funzione e derivata. Il dominio della funzione è $x>0$ e al di fuori di esso non esiste nulla, quindi anche il dominio della derivata è $x>0$.
Diverso è studiare il dominio di $f(x)=1/x$, che è $RR-{0}$.
Il motivo della stranezza è che in realtà $1/x$ è la derivata di $ln|x|$; se hai già studiato gli integrali lo sai.
Data la funzione $f(x)=lnx->f'(x)=1/x$, studiare il dominio di funzione e derivata. Il dominio della funzione è $x>0$ e al di fuori di esso non esiste nulla, quindi anche il dominio della derivata è $x>0$.
Diverso è studiare il dominio di $f(x)=1/x$, che è $RR-{0}$.
Il motivo della stranezza è che in realtà $1/x$ è la derivata di $ln|x|$; se hai già studiato gli integrali lo sai.
ciao grazie per la risposta,
no mai visti gli integrali ma ora penso di aver capito.
il dominio di una derivata puo essere uguale o piu piccolo di quello della sua funzione principale.
sicuramente non piu grande perche la funzione principale in tutti quei punti non sarebbe definita.
pero vorrei soffermarmi un attimo nel caso, come hai gia detto tu, il dominio di una derivata puo essere piu piccolo di quello della funzione principale (quindi dove puo escludare qualche punto).
ho qui un esempio:
$f(x)=(5x-2)^(3x)$
$D_f=[2/5;+oo[$
$f'(x)=(5x-2)^(3x)*(3ln(5x-2)+(15x)/(5x-2))$
$D_(f')=]2/5;+oo[$
come si puo vedere il dominio della funzione principale include $2/5$ mentre il dominio della derivata no.
Questo significherebbe che, in alcuni casi, seppur la funzione principale in quel punto ha un immagine, attraverso la sua derivata non potrei conoscerne la pendenza della tangente in quel punto?
no mai visti gli integrali ma ora penso di aver capito.
il dominio di una derivata puo essere uguale o piu piccolo di quello della sua funzione principale.
sicuramente non piu grande perche la funzione principale in tutti quei punti non sarebbe definita.
pero vorrei soffermarmi un attimo nel caso, come hai gia detto tu, il dominio di una derivata puo essere piu piccolo di quello della funzione principale (quindi dove puo escludare qualche punto).
ho qui un esempio:
$f(x)=(5x-2)^(3x)$
$D_f=[2/5;+oo[$
$f'(x)=(5x-2)^(3x)*(3ln(5x-2)+(15x)/(5x-2))$
$D_(f')=]2/5;+oo[$
come si puo vedere il dominio della funzione principale include $2/5$ mentre il dominio della derivata no.
Questo significherebbe che, in alcuni casi, seppur la funzione principale in quel punto ha un immagine, attraverso la sua derivata non potrei conoscerne la pendenza della tangente in quel punto?
Il tuo esempio va bene; uno più facile era $f(x)=root(3)x$, che esiste sempre ma non è derivabile in $x=0$.
Di solito (ci sono eccezioni, ma non preoccupartene) questo avviene nei punti in cui la derivata tende ad infinito e quindi la tangente si dispone parallela all'asse $y$: come ricordi dall'analitica, per queste rette non si può parlare di pendenza.
Di solito (ci sono eccezioni, ma non preoccupartene) questo avviene nei punti in cui la derivata tende ad infinito e quindi la tangente si dispone parallela all'asse $y$: come ricordi dall'analitica, per queste rette non si può parlare di pendenza.
Mi è venuto un dubbio ...
siamo sicuri che
$(5x-2)^(3x)$ abbia $D_f=[2/5;+oo]$ ?
ti spiego perche non ne sono sicuro:
in pratica posso vedere la funzione anche in questo modo:
$e^(ln(5x-2)^(3x))$
e qui si capisce chiaramente che il dominio e'
$D_f=]2/5;+oo]$ al posto di $D_f=[2/5;+oo]$
possibile?
siamo sicuri che
$(5x-2)^(3x)$ abbia $D_f=[2/5;+oo]$ ?
ti spiego perche non ne sono sicuro:
in pratica posso vedere la funzione anche in questo modo:
$e^(ln(5x-2)^(3x))$
e qui si capisce chiaramente che il dominio e'
$D_f=]2/5;+oo]$ al posto di $D_f=[2/5;+oo]$
possibile?
Aspetta che risponda giammaria, però volevo dirti questo riguardo alla manipolazione di formule.
In genere, quando si "rovista" matematicamente una formula traendone una definizione alternativa, si trovano formulazioni equivalenti ma che possono avere differenze di dominio.
Ti faccio un esempio abbastanza banale.
$log(x^2)$
ha dominio $x \ne 0$
tuttavia, "potresti dire"
$log(x^2)=2 log(x)$
ma $2 log (x)$ ha come dominio "solo" $x>0$.
In genere, quando si "rovista" matematicamente una formula traendone una definizione alternativa, si trovano formulazioni equivalenti ma che possono avere differenze di dominio.
Ti faccio un esempio abbastanza banale.
$log(x^2)$
ha dominio $x \ne 0$
tuttavia, "potresti dire"
$log(x^2)=2 log(x)$
ma $2 log (x)$ ha come dominio "solo" $x>0$.
cavoli hai ragione, non ci avevo mai fatto caso... chissa' come mai avviene questa cosa.
si equivalgono ma hanno un dominio diverso... bho ...
ma ad ogni modo $(5x-2)^(3x)$
mi chiedo come mai la parentesti $(5x-2)$ non possa dare anche valori negativi ... ma fermarsi solo a 0.
ovvero se $x=-1$
avremmo $(5*-1-2)^(3*-1)=-7^-3$
che e' fattibile come risultato no ?
si equivalgono ma hanno un dominio diverso... bho ...
ma ad ogni modo $(5x-2)^(3x)$
mi chiedo come mai la parentesti $(5x-2)$ non possa dare anche valori negativi ... ma fermarsi solo a 0.
ovvero se $x=-1$
avremmo $(5*-1-2)^(3*-1)=-7^-3$
che e' fattibile come risultato no ?
"giogiomogio":
mi chiedo come mai la parentesti $(5x-2)$ non possa dare anche valori negativi ... ma fermarsi solo a 0.
ovvero se $x=-1$
avremmo $(5*-1-2)^(3*-1)=-7^-3$
che e' fattibile come risultato no ?
L'esponenziale è definito per la base non negativa (e questo risolve anche molte stranezze di cui si era parlato anche qui non molto tempo fa)
$a^x$ vale per $a>=0$.
EDIT
Ho visto che giammaria ha risposto (anche meglio di me) alle tue domande: quindi (per ora) mi taccio
ok quindi se vedo funzioni esponenziali do per certo sempre che la base dev'essere $>=0$
Grazie.
Tornando al discorso di prima:
ci sono dei casi, quindi, dove una derivata non arriva in tutti i punti del dominio della funzione principale a dirti qual'e' la pendenza della tangente perche semplicemente essa non esiste.... e un esempio lampante e' quello dove la retta e' parallela all asse $y$ ho capito bene?
grazie
poi mi piacerebbe anche capire perche $log(x^2)$ e $2log(x)$ hanno due domini diversi.
mille grazie
Grazie.
Tornando al discorso di prima:
ci sono dei casi, quindi, dove una derivata non arriva in tutti i punti del dominio della funzione principale a dirti qual'e' la pendenza della tangente perche semplicemente essa non esiste.... e un esempio lampante e' quello dove la retta e' parallela all asse $y$ ho capito bene?
grazie
poi mi piacerebbe anche capire perche $log(x^2)$ e $2log(x)$ hanno due domini diversi.
mille grazie
"giogiomogio":
... chissa' come mai avviene questa cosa. Si equivalgono ma hanno un dominio diverso... bho ...
Avviene perché le proprietà dei logaritmi (ed anche altre) valgono solo se tutte le cose di cui si tratta esistono; per questo prima di applicarle bisogna sempre considerare a parte il loro dominio.
Per quanto riguarda l'altro tuo dubbio, hai ragione: un numero, anche negativo, può essere elevato a qualsiasi esponente intero; al dominio andrebbero quindi aggiunte tutte le $x$ dispari. Invece un numero negativo non può essere elevato ad esponenti non interi, neanche se ci sembra vero il contrario. Ad esempio, è definito $root(3)(-8)$ mentre non lo è $(-8)^(1/3)$; questo perché altrimenti alcuni calcoli risulterebbero contraddittori.
Per quanto riguarda la base zero, può essere elevata a qualsiasi esponente positivo; è il caso del tuo $x=2/5$, che quindi rientra nel dominio della funzione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo