Dominio di questa funzione
Ciao a tutti stavo controllando alcune soluzioni della mia docente e, a quanto pare trovo strano il dominio di questa funzione:
$f(t)=x*1/t-lnx$
la prof ha scritto:
$D_f=]0;+oo[$
ma secondo me nn e' molto corretto, cioè io avrei dato il dominio di $x$ e quello di $t$
ossia:
$D_x=]0;+oo[$
$D_t=]-oo;0[\cup]0;+oo[$
quindi potrei avere $x=4$ e $t=-2$
ma con la soluzione o meglio il dominio della prof escluderei, per esempio, la soluzione che ho indicato alla riga sopra
in quanto il suo dominio include soltanto $]0;+oo[$
cosa ne pensate?
grazie
$f(t)=x*1/t-lnx$
la prof ha scritto:
$D_f=]0;+oo[$
ma secondo me nn e' molto corretto, cioè io avrei dato il dominio di $x$ e quello di $t$
ossia:
$D_x=]0;+oo[$
$D_t=]-oo;0[\cup]0;+oo[$
quindi potrei avere $x=4$ e $t=-2$
ma con la soluzione o meglio il dominio della prof escluderei, per esempio, la soluzione che ho indicato alla riga sopra
in quanto il suo dominio include soltanto $]0;+oo[$
cosa ne pensate?
grazie
Risposte
ma la mia calcolatrice me lo risolve $(-8)^(1/3)$ che non è un esponente intero
come del resto anche $(-8)^4$ che e' un esponente pari
come del resto anche $(-8)^4$ che e' un esponente pari
Ci provo alla meglio...
Il punto è che l'esponenziale è un "ampliamento" (in senso di orizzonti, non in senso matematico!) dell'elevamento a potenza.
Alle medie (non credo alle elementari) si definisce l'elevamento a potenza con tutte le sue proprietà e lo si ritrova in una miriade di esercizi con le espressioni: quante volte ti è capitato in passato di risolvere cose come
$(-1)^3 \times (-1)^7 : (-1)^2 [(-1)^3 \cdot ((-1)^3)^2] \times 1^5$
(quella sopra è completamente inventata, è solo per dare l'idea!).
Ora se vai avanti ad un certo punto entra in gioco la radice pari che da problemi oltre che si passa a inquadrare la semplice "potenza" al grado di "esponenziale".
Cioè non si ha più $a^n$ che è $a \cdot a \cdot ... \cdot a$ $n$ volte, ma $a^x$ come funzione e robe simili.
Si arriva ad un certo punto ad una proprietà che parte dalle semplici proprietà delle potenze (tramite qualche passo mentale che ora mi sfugge)
$a^(b/c) = \root(c)(a^b)$
che non vale se $c$ è pari, a meno che non ci si restringe a $a$ non negativo.
Quindi l'elevamento a potenza vale per qualsiasi numero reale anche negativo, ma poi se ti capita una radice pari sono ca...voli amari. Passando all'esponenziale si leva direttamente il problema alla radice ponendo per definizione l'esponenziale definito per la base non negativa.
Il punto è che l'esponenziale è un "ampliamento" (in senso di orizzonti, non in senso matematico!) dell'elevamento a potenza.
Alle medie (non credo alle elementari) si definisce l'elevamento a potenza con tutte le sue proprietà e lo si ritrova in una miriade di esercizi con le espressioni: quante volte ti è capitato in passato di risolvere cose come
$(-1)^3 \times (-1)^7 : (-1)^2 [(-1)^3 \cdot ((-1)^3)^2] \times 1^5$
(quella sopra è completamente inventata, è solo per dare l'idea!).
Ora se vai avanti ad un certo punto entra in gioco la radice pari che da problemi oltre che si passa a inquadrare la semplice "potenza" al grado di "esponenziale".
Cioè non si ha più $a^n$ che è $a \cdot a \cdot ... \cdot a$ $n$ volte, ma $a^x$ come funzione e robe simili.
Si arriva ad un certo punto ad una proprietà che parte dalle semplici proprietà delle potenze (tramite qualche passo mentale che ora mi sfugge)
$a^(b/c) = \root(c)(a^b)$
che non vale se $c$ è pari, a meno che non ci si restringe a $a$ non negativo.
Quindi l'elevamento a potenza vale per qualsiasi numero reale anche negativo, ma poi se ti capita una radice pari sono ca...voli amari. Passando all'esponenziale si leva direttamente il problema alla radice ponendo per definizione l'esponenziale definito per la base non negativa.
forse ho capito ....
ad esempio $-2^(1/2) = sqrt(-2) = $ cavoli amari
giusto?
e nella nostra funzione se $a$ fosse negativa incontreremmo dei punti (potremmo incontrare) non definiti. proprio come il caso di $-2^(1/2)$ dove $a=-2$
quindi il grafico della funzione potrebbe essere non interessante da studiare ... perche sarebbe un po tutto strano ... con dei punti non definiti
ad esempio $-2^(1/2) = sqrt(-2) = $ cavoli amari
giusto?
e nella nostra funzione se $a$ fosse negativa incontreremmo dei punti (potremmo incontrare) non definiti. proprio come il caso di $-2^(1/2)$ dove $a=-2$
quindi il grafico della funzione potrebbe essere non interessante da studiare ... perche sarebbe un po tutto strano ... con dei punti non definiti
Sì, credo di sì. Diciamo che quella che ti ho dato non so se è la spiegazione ufficiale, ma diciamo che è quello che ho raccolto in 6 anni di università per spiegarmi questa cosa.
Per il grafico, problema no est perché non disegni il semplice elevamento a potenza, ma l'esponenziale che è definito e non dà problemi (proprio per la base non negativa ecc...).
Per il grafico, problema no est perché non disegni il semplice elevamento a potenza, ma l'esponenziale che è definito e non dà problemi (proprio per la base non negativa ecc...).
Comincio con lo scusarmi per un mio errore (che adesso ho corretto): un numero negativo può essere elevato ad esponenti interi, non importa se pari o dispari: va quindi bene $(-8)^4$. La calcolatrice non dovrebbe invece accettare $(-8)^(1/3)$ ma ho controllato ed anche la mia lo fa: evidentemente il loro programmatore ha previsto alcuni casi, pensandoli come radici. Quando però ho provato a farle calcolare $(-8)^0.33$ mi ha risposto $0$ e poi si è rifiutata di fare altri calcoli finché non l'ho spenta e riaccesa.
Per il resto, alla esauriente spiegazione di Zero87 aggiungo un esempio di contraddizione a cui si può pervenire accettando basi negative ed esponenti frazionari. Tu sai che $root(3)(-8)=-2$, ma guarda il mio calcolo seguente:
$(-8)^(1/3)=(-8)^(2/6)=root(6)((-8)^2)=root(6)64=2$
Per il resto, alla esauriente spiegazione di Zero87 aggiungo un esempio di contraddizione a cui si può pervenire accettando basi negative ed esponenti frazionari. Tu sai che $root(3)(-8)=-2$, ma guarda il mio calcolo seguente:
$(-8)^(1/3)=(-8)^(2/6)=root(6)((-8)^2)=root(6)64=2$
"giammaria":
Tu sai che $root(3)(-8)=-2$, ma guarda il mio calcolo seguente:
$(-8)^(1/3)=(-8)^(2/6)=root(6)((-8)^2)=root(6)64=2$
Volevo scrivere esattamente questo, però non ero sicurissimo (quando dico che sono stupido ho ragione!
)
edit ora ho capito
$a^(b/c)=root(c)(a^b)$. Se $a = -8,\ b = 2,\ c = 6\ =>\ (-8)^(2/6)=root(6)((-8)^2)$. In ogni caso, anche se fosse stato come dici tu non sarebbe stata la stessa cosa, dato che la radice sesta di $-64$ non è definita nel campo dei numeri reali.
"Pianoth":
$a^(b/c)=root(c)(a^b)$. Se $a = -8,\ b = 2,\ c = 6\ =>\ (-8)^(2/6)=root(6)((-8)^2)$. In ogni caso, anche se fosse stato come dici tu non sarebbe stata la stessa cosa, dato che la radice sesta di $-64$ non è definita nel campo dei numeri reali.
si ho scritto una cavolata infatti ho editato.
avevo letto pervenire come evitare invece significa capitare, piombare...
quindi con base negativa ed esponente frazionario, si puo addirittura, pur rispettando tutte le uguaglianze, ottenere 2 valori differenti.
"Zero87":
tuttavia, "potresti dire"
$log(x^2)=2 log(x)$
ma $2 log (x)$ ha come dominio "solo" $x>0$.
ci ho pensato molto ma quello che dici è sbagliato.
$log(x^2)$$ ne 2 log(x)$
bensi
$log(x^2)=2log|x|$
"giammaria":
ma guarda il mio calcolo seguente:
$(-8)^(1/3)=(-8)^(2/6)=root(6)((-8)^2)=root(6)64=2$
qui ho chiesto alla mia prof di matematica e mi ha detto:
prima di adottare la regola BISOGNA ridurre ai minimi termini la frazione, se non lo fai, non puoi utilizzare la regola.
E' un modo di uscire dai guai; però esiste $root(3)((-8)^5)$ mentre la calcolatrice si rifiuta di calcolare $(-8)^(5/3)$, anche se l'esponente è ridotto ai minimi termini. Evidentemente i programmatori della calcolatrici hanno fatto uno strappo alla matematica (secondo la quale con base negativa l'esponente deve essere intero) per permettere di calcolare tutte le radici con indice dispari, ma non sono andati più in là.
Inoltre, perché BISOGNA ridurre ai minimi termini? La matematica afferma che $1/3=2/6$, senza eccezioni.
Inoltre, perché BISOGNA ridurre ai minimi termini? La matematica afferma che $1/3=2/6$, senza eccezioni.
"giogiomogio":
ci ho pensato molto ma quello che dici è sbagliato.
$log(x^2)$$ ne 2 log(x)$
bensi
$log(x^2)=2log|x|$
Più che altro spiegherebbe molte cose...
Comunque in attesa di pareri più autorevoli - oltre che probabilmente ora è il sonno a parlare - ti do questa "dimostrazione" (se così si può dire).
Prendiamo $x^k$ una potenza qualsiasi.
Da una parte la definizione stessa di logaritmo dice
$x^k = e^(log(x^k))$
e fino a qui ok.
D'altra parte, però, utilizzando le proprietà delle potenze che si imparano alle medie (tipo $a^(bc)= (a^b)^c = (a^c)^b$)
$e^(k log(x)) = e^(k \cdot log(x))= (e^k)^(log(x)) = (e^(log(x)))^k = (x)^k = x^k$.
Uguagliando le due scritture ho
$e^(log(x^k))= e^(k log(x))$
da cui deduco
$log(x^k) = k log(x)$
senza valori assoluti di sorta...
Ma come ho detto, magari a quest'ora è il sonno a parlare e non io.
'notte forum
davvero molto interessante.
quello che dici lo seguo...
quindi rimane vero il fatto che manipolando una funzione pur rispettando un'uguaglianza si puo ottenere (come dominio) un sotto insieme del dominio della funzione dell'altro membro.
esempio:
$f(x)=x^x$
$D_f=[0;+oo[$
ma
$x^x=e^ln(x^x) $
$D_f=]0;+oo[$
scusate se ci sto ritornando sopra ma voglio essere sicuro;
quello che ho scritto e' corretto?
buona notte a tutti
stacco anch'io domani si lavora
quello che dici lo seguo...
quindi rimane vero il fatto che manipolando una funzione pur rispettando un'uguaglianza si puo ottenere (come dominio) un sotto insieme del dominio della funzione dell'altro membro.
esempio:
$f(x)=x^x$
$D_f=[0;+oo[$
ma
$x^x=e^ln(x^x) $
$D_f=]0;+oo[$
scusate se ci sto ritornando sopra ma voglio essere sicuro;
quello che ho scritto e' corretto?
buona notte a tutti
stacco anch'io domani si lavora
@zero87. Rispondo d'impulso e quindi potrebbero esserci motivi migliori. Stai trascurando il fatto che se $x<0$ non esiste $ln x$ e quindi non ha senso la scritta $e^(k ln x)$; non si può partire da cose senza significato.
@ giogiomogio. Mi sembra tutto corretto.
@ giogiomogio. Mi sembra tutto corretto.
"giammaria":
@zero87. Rispondo d'impulso e quindi potrebbero esserci motivi migliori. Stai trascurando il fatto che se $x<0$ non esiste $ln x$ e quindi non ha senso la scritta $e^(k ln x)$; non si può partire da cose senza significato.
Ca...ssiopea... allora che si fa di bello?
Ha ragione giogiomogio? (non che mi dispiace, anzi, più che altro risolverebbe molte cose la scrittura $log(x^2)=2log|x|$
)EDIT
Ovviamente con calma mi documento quando ho un po' di tempo in modo che se non risponde nessuno, magari avrò una risposta migliore.
Non saprei cosa rispondere, dato che non capisco bene quale sia la domanda; comunque documentarsi è sempre un'ottima cosa, la tua scrittura col valore assoluto è proprio quella da usare, l'ultimo post di giogiomogio era corretto, a parte l'osservazione che farò alla fine.
A lui do anche un altro esempio, ancora più significativo:
- la funzione $f(x)=ln(x^2-1)$ ha come dominio $x< -1 vv x>1$;
- quella che si ottiene scomponendo in fattori ed applicando le proprietà dei logaritmi, cioè $f(x)=ln(x+1)+ln(x-1)$ ha invece come dominio solo $x>1$.
Non è detto però che manipolando si ottenga sempre un sottoinsieme del dominio: ad esempio, se si fosse partiti dalla seconda formula che ho dato per $f(x)$ e la si fosse manipolata fino alla prima, il dominio si sarebbe ampliato.
A lui do anche un altro esempio, ancora più significativo:
- la funzione $f(x)=ln(x^2-1)$ ha come dominio $x< -1 vv x>1$;
- quella che si ottiene scomponendo in fattori ed applicando le proprietà dei logaritmi, cioè $f(x)=ln(x+1)+ln(x-1)$ ha invece come dominio solo $x>1$.
Non è detto però che manipolando si ottenga sempre un sottoinsieme del dominio: ad esempio, se si fosse partiti dalla seconda formula che ho dato per $f(x)$ e la si fosse manipolata fino alla prima, il dominio si sarebbe ampliato.
"giammaria":
la tua scrittura col valore assoluto è proprio quella da usare, l'ultimo post di giogiomogio era corretto.
Mi rivedo qualche base prossimamente (in vista di una possibile prova per il TFA): se tra un mese e/o 2 trovate uppato questo thread, pensate che non sia solo necroposting, ma magari che ho trovato una risposta.
"giammaria":
A lui do anche un altro esempio, ancora più significativo:[...]
Molto molto molto meglio del mio!
... e per lo meno funziona senza intoppi di sorta.
EDIT
Ho trovato l'unica risposta esauriente nel libro delle superiori (quelli dell'università definiscono il logaritmo tramite gli integrali e non si soffermano più di tanto su eventuali cavilli).
Ora, si dice "se $b>0$, allora $log(b^k)=k log(b)$"
che così com'è scritta non va d'accordo né con me, né con giogiomogio, infatti
- giogiomogio presuppone $b\in \RR$ che poi adatta con il modulo
- io non ci faccio direttamente caso dov'è definito $b$, quindi mi sa che la mia dimenticanza è peggiore
La conclusione che personalmente do a quello che ho scritto qualche pagina fa (sbagliando) è che
$log(x^2)=2 log(x)$
ma solo per $x>0$ poiché per $x<0$ la sostituzione operata non è proprio definita.
Quindi detta così non va d'accordo né con quanto ho detto io, né con quanto ha detto giogiomogio: ora la parola a menti più elevate che può darsi sapranno chiarire l'arcano.
Tuttavia, dopo aver dato la conclusione personale, come parere personale secondo me l'utilizzo del modulo da parte di giogiomogio è veramente una cosa geniale che salva capra e cavoli: però non riesco a giustificarla perché nel logaritmo l'esponente non si porta fuori facendo qualcosa assimilabile ad una radice per quanto ne so.
Ciao Zero87,
mi è venuto in mente di usare il modulo semplicemente per il motivo seguente:
$log(x^2)$
avrà sempre e in qualsiasi caso $x>=0$
per tanto mi è venuta l'idea di definirlo come $2log|x|$
tutto qui
ho trovato su delle pagine di teoria, che la regola che tu hai utilizzato nel tuo esempio, prima di usarla bisogna ridurre la frazione il piu possibile. se non lo fai non puoi usarla.
ho semplicemente riportato questa cosa, l'ho provata e poi te l'ho scritta.
[ot] che nottaccia non riesco a chiudere occhio ... ho iniziato a leggere "L'ombra del vento".
ve lo consiglio.
mi è venuto in mente di usare il modulo semplicemente per il motivo seguente:
$log(x^2)$
avrà sempre e in qualsiasi caso $x>=0$
per tanto mi è venuta l'idea di definirlo come $2log|x|$
tutto qui
"giammaria":
Inoltre, perché BISOGNA ridurre ai minimi termini? La matematica afferma che $1/3=2/6$, senza eccezioni.
ho trovato su delle pagine di teoria, che la regola che tu hai utilizzato nel tuo esempio, prima di usarla bisogna ridurre la frazione il piu possibile. se non lo fai non puoi usarla.
ho semplicemente riportato questa cosa, l'ho provata e poi te l'ho scritta.
[ot] che nottaccia non riesco a chiudere occhio ... ho iniziato a leggere "L'ombra del vento".
ve lo consiglio.
Se l'hai trovata su un libro, è evidente che fra i professori (professoroni compresi?) ci sono opinioni discordi. Io ti ho riferito quello che mi è stato insegnato.
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