Dominio di funzione in due variabili
Buongiorno,
rieccomi con lo stesso argomento.
"determina il dominio della seguente funzione"
$z=sqrt(x^2-y^2)+sqrt(xy-1)$
allora la seconda radice è un'iperbole equilatera e fin qui ci sono.
La prima è un'iperbole ma generalmente abbiamo la forma $x^2-y^2=1$ oppure $x^2-y^2=-1$
in questo caso se isolo la y trovo
$y=+-x$
sono i miei asintoti obliqui? in teoria no.
Non riesco a capire come disegnarla.
Grazie mille
rieccomi con lo stesso argomento.
"determina il dominio della seguente funzione"
$z=sqrt(x^2-y^2)+sqrt(xy-1)$
allora la seconda radice è un'iperbole equilatera e fin qui ci sono.
La prima è un'iperbole ma generalmente abbiamo la forma $x^2-y^2=1$ oppure $x^2-y^2=-1$
in questo caso se isolo la y trovo
$y=+-x$
sono i miei asintoti obliqui? in teoria no.
Non riesco a capire come disegnarla.
Grazie mille
Risposte
E che t'importa? Tu devi trovare dove $x^2-y^2>=0$ e basta.
"axpgn":
E che t'importa? Tu devi trovare dove $x^2-y^2>=0$ e basta.
Ciao @axpgn, scusa la domanda ma come mai deve imporre solo l'argomento del primo radicale e non il sistema con entrambi posti $ >= 0$ ?
No, beh, ho risposto così perché mi pare che Marco abbia il dubbio solo sul primo radicale, è chiaro che il dominio deve tener conto di entrambi.
$x^2-y^2=0$ non è l'equazione di un'iperbole, è l'equazione dell'unione di due rette.
Basta vederla così $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ 
O anche come:
$$[x^2-y^2 \ge 0] \iff [y^2 \le x^2] \iff [|y| \le |x|] \iff [-|x| \le y \le |x|] .$$
Dato che il grafico di $x \mapsto |x|$ è elementare, si può stabilire velocemente in quali regione del piano è vera $-|x| \le y \le |x|$.
$$[x^2-y^2 \ge 0] \iff [y^2 \le x^2] \iff [|y| \le |x|] \iff [-|x| \le y \le |x|] .$$
Dato che il grafico di $x \mapsto |x|$ è elementare, si può stabilire velocemente in quali regione del piano è vera $-|x| \le y \le |x|$.
Grazie a tutti per le risposte.
ammetto che la risposta di mephlip mi lascia un pò perplesso ma devo ragionarci su.
Prendo spunto da Alex.
$(x+y)(x-y)>=0$
a questo punto devo studiare il segno di queste due rette che altro non sono che le due bisettrici del piano cartesiano;
impongo pertanto.
$x+y>=0$ quindi $y>=-x$
$x-y>=0$ quindi $y<=x$
le disegno, scrivo i "+" e i "-" a seconda che la disequazione sia vera/falsa; accoppio le zone dove i segni
sono entrambi "+" e entrambi "-" e quella è la soluzione della condizione (comprese le due rette)
questa soluzione va incrociata con la soluzione dell'iperbole equilatera che però, non ha bisogno di studio del segno.
Le parti comuni sono la soluzione del sistema di disequazioni. o almeno spero
ammetto che la risposta di mephlip mi lascia un pò perplesso
ma devo ragionarci su.Prendo spunto da Alex.
$(x+y)(x-y)>=0$
a questo punto devo studiare il segno di queste due rette che altro non sono che le due bisettrici del piano cartesiano;
impongo pertanto.
$x+y>=0$ quindi $y>=-x$
$x-y>=0$ quindi $y<=x$
le disegno, scrivo i "+" e i "-" a seconda che la disequazione sia vera/falsa; accoppio le zone dove i segni
sono entrambi "+" e entrambi "-" e quella è la soluzione della condizione (comprese le due rette)
questa soluzione va incrociata con la soluzione dell'iperbole equilatera che però, non ha bisogno di studio del segno.
Le parti comuni sono la soluzione del sistema di disequazioni. o almeno spero
Mi pare tutto corretto
@Marco1005: Cosa non ti torna? Ho isolato $y^2$, ho estratto la radice quadrata ambo i membri e poi ho usato la proprietà del modulo $[|t| \le a] \iff [-a \le t \le a]$ valida per ogni $t \in\mathbb{R}$ e per ogni $a \ge 0$. Conosci il grafico di $|x|$, perciò conosci il grafico del suo opposto $-|x|$; quindi, $-|x| \le y \le |x|$ determina due semipiani chiusi che contengono, ad esempio, i punti $(1,0)$ e $(-1,0)$. L'iperbole già la sapevi tracciare, quindi devi solo vedere dove valgono entrambe queste condizioni (che è equivalente a quello che hai fatto tu alla fine, ma con molti meno conti e casi distinti).
"Mephlip":
@Marco1005: Cosa non ti torna? Ho isolato $y^2$, ho estratto la radice quadrata ambo i membri e poi ho usato la proprietà del modulo $[|t| \le a] \iff [-a \le t \le a]$ valida per ogni $t \in\mathbb{R}$ e per ogni $b \ge 0$.
è proprio la proprietà del modulo a lasciarmi sgomento - quando vedo i valori assoluti tendo a starci lontano, è un bias mentale. Avevo anche io risolto $y<=+-x$ ma poi da qui non sapevo che farci
Perdona l'ignoranza ma la proprietà del modulo non la conosco. Se l'ho fatta a ragioneria di sicuro me la sono dimenticata. Non riesco a collegarla a quello che ho fatto io
Figurati, non devi scusarti! Scrivere, "$y \le \pm$" è un'eresia; non scriverla mai . Quella notazione è ambigua, perché c'è sottinteso un "oppure" che se non si sa bene come si tratta porta a disastri.
Comunque, capisco la paura dei valori assoluti ma si tratta semplicemente di distinguere i casi (o, meglio ancora, ragionare geometricamente). Ti ritrovi con $|t| \le a$, e vuoi sapere per quali $t$ è vera; osservando che $|t|=|t-0|$ e ricordando che il modulo della differenza tra due numeri rappresenta la distanza tra quei due numeri, chiedersi quando $|t-0| =|t| \le a$ è vera equivale a chiedersi quando la distanza di $t$ dall'origine è minore di $a$. Se ti fai un disegno dell'asse reale, disegnando l'origine e un numero $a$ non negativo a caso, è praticamente immediato notare la distanza di un numero variabile $t$ dall'origine è minore/uguale ad $a$ se solo se $-a \le t \le a$ (basta confrontare i segmenti rappresentanti le distanze che escono fuori al variare di $t$). Se invece vuoi distinguere i casi (e quindi procedere algebricamente), basta usare la definizione di valore assoluto. La disuguaglianza $|t| \le a$ ti conduce a due casi: se $t \ge 0$, per definizione di valore assoluto è $|t|=t$ e quindi la disuguaglianza equivale a $t \le a$ (che è già risolta); se $t <0$ la disuguaglianza equivale a $-t \le a$ che, moltiplicando per $-1$, è equivalente a $-a \le t$. Mettendo insieme i due casi, giungi nuovamente a $-a \le t \le a$.
. Quella notazione è ambigua, perché c'è sottinteso un "oppure" che se non si sa bene come si tratta porta a disastri.Comunque, capisco la paura dei valori assoluti ma si tratta semplicemente di distinguere i casi (o, meglio ancora, ragionare geometricamente). Ti ritrovi con $|t| \le a$, e vuoi sapere per quali $t$ è vera; osservando che $|t|=|t-0|$ e ricordando che il modulo della differenza tra due numeri rappresenta la distanza tra quei due numeri, chiedersi quando $|t-0| =|t| \le a$ è vera equivale a chiedersi quando la distanza di $t$ dall'origine è minore di $a$. Se ti fai un disegno dell'asse reale, disegnando l'origine e un numero $a$ non negativo a caso, è praticamente immediato notare la distanza di un numero variabile $t$ dall'origine è minore/uguale ad $a$ se solo se $-a \le t \le a$ (basta confrontare i segmenti rappresentanti le distanze che escono fuori al variare di $t$). Se invece vuoi distinguere i casi (e quindi procedere algebricamente), basta usare la definizione di valore assoluto. La disuguaglianza $|t| \le a$ ti conduce a due casi: se $t \ge 0$, per definizione di valore assoluto è $|t|=t$ e quindi la disuguaglianza equivale a $t \le a$ (che è già risolta); se $t <0$ la disuguaglianza equivale a $-t \le a$ che, moltiplicando per $-1$, è equivalente a $-a \le t$. Mettendo insieme i due casi, giungi nuovamente a $-a \le t \le a$.
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