Dominio di funzione composta

[Marco1985Mn]

Questo mi lascia perplesso
date le seguenti funzioni

$f(x) = logx$ ; $g(x) =1+cosx$ ; $h(x) = x^2$

determina la $f(g(h(x)))$ e il domino della funzione composta

la funzione composta è $log(1+cosx^2)$

come dominio imposto $(1+cosx^2)>0$ e per me il dominio è $R$

il prof invece scrive $x inR: x!=+-sqrt(pi+2kpi)AA k in N$

sinceramente sono un pò confuso

[Marco1985Mn]

"Mephlip": ricordati che la radice quadrata si applica ambo i membri per eliminare un quadrato, ma in $\cos x^2 \ne -1$ il quadrato compare come argomento del coseno;

Vero, se avessi avuto invece $cos^2(x) = (cos(x))^2$ allora avrei potuto applicare la radice, ma senza giovamento.

"Mephlip":
Questo dovresti saperlo fare, visto che è un'equazione trigonometrica elementare. Dopo aver fatto ciò, torna in $x$ sostituendo nuovamente $t=x^2$.

ma su questo non ci giurerei, per me trigonometria è complicata (non che il resto non lo sia eh)
devo quindi risolvere dove il coseno di un numero è diverso da -1; la risposta però è un range di valori.
il Coseno è diverso da -1 in tutti gli angoli diversi da $180°$ poi da tradurre in soluzione proprio non ho idea di come farlo. Potrei dire che il coseno è diverso da -1 in tutti i punti dove invece il valore oscilla tra $[0;1]$...forse

[ghira1]

https://it.wikipedia.org/wiki/Coseno#Funzione_coseno

[Mephlip]

@Marco1005: A parte l'ultima affermazione, stai procedendo correttamente. Oltre a $\pi$, per periodicità vanno considerati anche gli altri angoli multipli interi di $2\pi$. Deve quindi essere $t \ne \pi+2k\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$, ossia $x^2 \ne \pi+2k\pi$. Ora, uno si accorge che quando $k \le -1$ è $\pi+2k\pi<0$ e quindi $x^2 \ne \pi+2k\pi$ è vera per ogni $x\in\mathbb{R}$ (al membro di sinistra c'è numero non negativo, mentre al membro di destra c'è un numero negativo). Dunque, rimane da vedere cosa succede per $k \in \mathbb{N}$. Per tali valori, devi risolvere $x^2 \ne \pi+2k\pi$. Prosegui.

Comunque, io ricordo che l'illuminazione sulle equazioni/disequazioni trigonometriche avviene una volta capita l'interpretazione geometrica di coseno e seno e una volta conosciuti a menadito gli angoli notevoli. Questi due argomenti ci sono sul tuo libro di testo?

[Marco1985Mn]

"Mephlip":@Marco1005: A parte l'ultima affermazione, stai procedendo correttamente. Oltre a $\pi$, per periodicità vanno considerati anche gli altri angoli multipli interi di $2\pi$. Deve quindi essere $t \ne \pi+2k\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$, ossia $x^2 \ne \pi+2k\pi$. Ora, uno si accorge che quando $k \le -1$ è $\pi+2k\pi<0$ e quindi $x^2 \ne \pi+2k\pi$ è vera per ogni $x\in\mathbb{R}$ (al membro di sinistra c'è numero non negativo, mentre al membro di destra c'è un numero negativo). Dunque, rimane da vedere cosa succede per $k \in \mathbb{N}$. Per tali valori, devi risolvere $x^2 \ne \pi+2k\pi$. Prosegui.

Comunque, io ricordo che l'illuminazione sulle equazioni/disequazioni trigonometriche avviene una volta capita l'interpretazione geometrica di coseno e seno e una volta conosciuti a menadito gli angoli notevoli. Questi due argomenti ci sono sul tuo libro di testo?

Grazie mille, quindi oltre a $pi$ considero tutti gli "infiniti giri" di 360° che partono da $pi$ che vengono indicati con k.
Se $k<=-1$ allora come hai detto tu ottengo (ad esempio) $x^2!=pi +2(-1)pi$ quindi sempre vera.
Per il resto dovrò controllare con $k>1$
quindi $sqrt(x^2)!=+-sqrt(pi +2kpi)$
pertanto $x!=+-sqrt(pi +2kpi)$
ps. perchè prendo $-1$ da analizzare come prima e dopo? perchè comunque di partenza $1+coc(x^2)$ doveva essere diverso da $-1$?
Come libro di testo ne ho solo uno di quarta e quinta, ma @melia mi aveva fornito un link dove scaricare gratis tutto quello che riguarda la trigonometria. Il problema è che non avendola mai fatta alle superiori, pochissimo all'università, faccio fatica a metabolizzarla. Ad esempio per me gli archi associati sono difficili da memorizzare. Avevo visto anni fa un video di Elia Bombardelli dove venivano spiegati bene, capiti in quel momento ma dimenticati dopo 3 settimane

[Mephlip]

Osservi che $x^2\ne \pi+2k\pi$ è sempre vera se $\pi+2k\pi<0$ e quindi, per stabilire quali $k$ interi la soddisfano sicuramente, studi $\pi+2k\pi<0$ con $k\in\mathbb{Z}$. Questa disequazione è equivalente a $2k\pi <-\pi$, che a sua volta è equivalente a a $k<-1/2$. Ma ti ricordi che $k$ è intero, quindi non può assumere valori razionali o irrazionali; perciò, dato che gli interi minori strettamente di $-1/2$ sono gli interi da $-1$ in giù, hai che $k<-1/2$ è equivalente a $k \le -1$. Per gli altri $k \ge 0$ interi, puoi estrarre la radice. Occhio però quando estrai la radice ambo i membri: o passi direttamente da $x^2\ne \pi+2k\pi$ a $x \ne \pm \sqrt{\pi+2k\pi}$ con $k\in\mathbb{N}$, oppure se vuoi scrivere il passaggio intermedio con $\sqrt{x^2}$ devi scrivere dapprima $\sqrt{x^2} \ne \sqrt{\pi+2k\pi}$, poi $|x| \ne \sqrt{\pi+2k\pi}$ e solo adesso scrivere $x \ne \pm \sqrt{\pi+2k\pi}$ con $k\in\mathbb{N}$. Nel senso, quel $\pm$ spunta fuori dal modulo. Quindi, o metti il modulo e poi $\pm$ oppure metti subito $\pm$ ma saltando il passaggio con $\sqrt{x^2}$. Altrimenti, stai mischiando due cose. Spero di essermi spiegato.

Per gli archi associati, io non me li ricordo mai: ma non bisogna ricordarseli, bisogna imparare l'importanza delle proprietà geometriche di simmetria e li ricavi di volta in volta facendo un semplice disegnino. Ad esempio, ricavo che $\sin(\pi-x)=\sin x$ perché se tu partendo dal punto $(1,0)$ tracci un angolo di ampiezza $\pi$ radianti e poi gli sottrai un generico angolo di ampiezza $x$ radianti (che, per comodità grafica, supponi sia $0

[Marco1985Mn]

Grazie Mephlip per la risposta, mi sono salvato gli stamp
per gli archi associati concordo, vanno capiti non ricordati. Sembra semplice ma poi quando mi ci trovo è un vero casino.
ps grazie per la chiarezza sul modulo.
sono sempre in dubbio se mettere il piu o il meno quando applico una radice quadrata, perchè come detto sia da Alex che da @melia la radice è sempre positiva

[@melia]

"Marco1005":
sono sempre in dubbio se mettere il piu o il meno quando applico una radice quadrata, perchè come detto sia da Alex che da @melia la radice è sempre positiva

Quello che esce da una radice è sempre positivo, ma a volte hai bisogno anche del valore negativo, quindi devi mettere il $+-$ davanti alla radice. Infatti $sqrt4=2$, ma $x^2=4$ dà $x=+-sqrt4$ cioè $x=+-2$

[Marco1985Mn]

Grazie a tutti come sempre per le risposte