Dominio di funzione composta

[Marco1985Mn]

Questo mi lascia perplesso
date le seguenti funzioni

$f(x) = logx$ ; $g(x) =1+cosx$ ; $h(x) = x^2$

determina la $f(g(h(x)))$ e il domino della funzione composta

la funzione composta è $log(1+cosx^2)$

come dominio imposto $(1+cosx^2)>0$ e per me il dominio è $R$

il prof invece scrive $x inR: x!=+-sqrt(pi+2kpi)AA k in N$

sinceramente sono un pò confuso

[ghira1]

Ma $1+cos(x^2)$ non è maggiore di 0 dappertutto.

[Gi81]

Tieni presente che per ogni $alpha in RR$ si ha $cos(alpha) >= -1 $
(vale anche $cos(alpha) <= 1$, ma per la risoluzione di questo esercizio non ci interessa)

Quindi, aggiungendo $1$ si ha $1+cos(alpha) >=0$

Siccome la condizione che deve valere è $1+cos(x^2) >0$,
allora ciò è equivalente a risolvere $1+cos(x^2) !=0$, cioè $cos(x^2) != -1 => ...$

[Marco1985Mn]

"ghira":Ma $1+cos(x^2)$ non è maggiore di 0 dappertutto.

eh però se faccio il coseno di qualsiasi numero positivo viene sempre positivo; se poi ci sommo 1 a maggior ragione viene verificata ovunque la condizione...dove cavolo sbaglio?

[Marco1985Mn]

"Gi8":

Siccome la condizione che deve valere è $1+cos(x^2) >0$,
allora ciò è equivalente a risolvere $1+cos(x^2) !=0$, cioè $cos(x^2) != -1 => ...$

scusa ma non posso risolvere direttamente $1+cos(x^2) >0$?
perchè devo risolvere $1+cos(x^2) !=0$, mi sta chiedendo dove $1+cos(x^2) >0$ e io vado con quella no? .
per me il $cos(x^2)$ è sempre positivo ovunque, c'è un quadrato come potrebbe essere diversamente?

ad esempio $cos(90)=0$; $cos(0)=1$, $cos(-180)=-1 $ ma se elevo al quadrato tra parentesi viene positivo.
mi sto impappinando

[ghira1]

"Marco1005":[
ad esempio $cos(90)=0$; $cos(0)=1$, $cos(-180)=-1 $ ma se elevo al quadrato tra parentesi viene positivo.
mi sto impappinando

Ci stai dicendo che $0^2>0$? E ovviamente non intendi 90, intendi $\frac{\pi}{2}$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Occhio,

$cos(x^2) = cos(x*x)$

non c'entra niente con

$(cos(x))^2 = cos(x)*cos(x)$.

[ghira1]

"Marco1005":[quote="ghira"]Ma $1+cos(x^2)$ non è maggiore di 0 dappertutto.

eh però se faccio il coseno di qualsiasi numero positivo viene sempre positivo;[/quote]
Non è vero!

[Marco1985Mn]

"ghira":

Ci stai dicendo che $0^2>0$? E ovviamente non intendi 90, intendi $\frac{\pi}{2}$.

$0^2>0$ no ma $1+0^2>0$ si

[Marco1985Mn]

"ghira":[quote="Marco1005"][quote="ghira"]Ma $1+cos(x^2)$ non è maggiore di 0 dappertutto.

eh però se faccio il coseno di qualsiasi numero positivo viene sempre positivo;[/quote]
Non è vero![/quote]
pardon, se faccio il coseno di un positivo e aggiungo 1 viene positivo
$1+cos(pi/2)^2$ sarà maggiore di zero o no?

[axpgn]

"Marco1005":eh però se faccio il coseno di qualsiasi numero positivo viene sempre positivo;

$cos(3/4pi)= -sqrt(2)/2$

[ghira1]

"Marco1005":
pardon, se faccio il coseno di un positivo e aggiungo 1 viene positivo

Falso. $1+cos(\pi)$ quanto fa?

[Marco1985Mn]

"ghira":[quote="Marco1005"]
pardon, se faccio il coseno di un positivo e aggiungo 1 viene positivo

Falso. $1+cos(\pi)$ quanto fa?[/quote]

hai ragione
$cos(180°) = -1$
quindi $1-1>0$ falsissimo

[Marco1985Mn]

poi però non riesco a proseguire
non capisco perchè se la disequazione mi impone $1+cos(x^2)>0$ equivale a risolvere
$cos(x^2)!=-1$

so solo che il coseno non sarà mai $-1$ in $pi/2$ , in $3/2pi$ e in $2pi$

[ghira1]

"Marco1005":
non capisco perchè se la disequazione mi impone $1+cos(x^2)>0$ equivale a risolvere
$cos(x^2)!=-1$

so solo che il coseno non sarà mai $-1$ in $pi/2$ , in $3/2pi$ e in $2pi$

Parlaci di $\cos(x)$.

[Mephlip]

"Marco1005":
non capisco perchè se la disequazione mi impone $1+cos(x^2)>0$ equivale a risolvere
$cos(x^2)!=-1$

@Marco1005: Come ha già detto Gi8, per definizione il coseno è limitato dal basso da $-1$ e quindi è sempre maggiore o uguale a $-1$. Sommando $1$ ambo i membri, hai che $1+\cos(x^2) \ge 0$ sempre. Che cosa significa $\ge$? Significa "maggiore o uguale". Quindi, quando hai $ \ge $, ci sono solo due casi possibili: $>$ oppure $=$. Se sei nel caso $>$, hai concluso perché tu volevi proprio $1+\cos(x^2)>0$. Se sei nel caso $=$ non va bene, perché (come hai notato nel tuo esempio $1-1>0$) nel caso dell'uguaglianza la condizione $1+\cos(x^2)>0$ non è verificata. Non andando bene questo caso, devi escluderlo; ossia, devi escludere $1+\cos(x^2)=0$. Ciò significa stabilire per quali $x$ vale $1+\cos(x^2) \ne 0$, ossia risolvere l'equazione $\cos(x^2) \ne -1$. In poche parole, la logica è che $\cos(x^2)$ ha la proprietà di essere sempre $\ge -1$, ma il tuo problema richiede che sia $> -1$. Quindi, affinché tu sia certo $\cos(x^2)> -1$ sia vera, ti basta escludere i casi in cui è $\cos(x^2)=-1$ (ossia imporlo $\ne -1$) perché nei restanti casi è sempre $> -1$ proprio per una sua proprietà intrinseca (ossia quello di essere limitato dal basso da $-1$).

[Marco1985Mn]

Grazie per la risposta Mephlip, ho compreso il senso.
ora comunque però non riesco a proseguire
se leggo il risultato vedo una radice quadrata, potrei provare ad applicarla a tutti e due i membri, ma
poi a destra mi troverei la radice quadrata di un negativo.
Come bypasso questo problema? riscrivo $-1$ in altro modo?

[Marco1985Mn]

"ghira":

Parlaci di $\cos(x)$.

è una funzione periodica di periodo $2pi$, quindi si ripete ogni $360°$, ricordo solo la circonferenza
goniometrica di raggio 1, nella quale il coseno parte da 1 (quando l'angolo è zero gradi), poi passa a zero in $pi/2$, poi passa a -1 in $pi$, poi ritorna a zero in $3/2pi$ e poi ritorna a 1 in $2pi$

quindi appena superiamo l'angolo di 90° comunque il coseno è negativo (prima ho sparato una minchiata)
più di questo non so

[Mephlip]

Prego! Attento: oltre a non poter applicare la radice ambo i membri perché a destra hai un numero negativo, ragiona su quello che stai facendo. Anche se tu avessi un numero positivo a destra dell'uguaglianza (in questo caso hai $\ne$, ma operativamente si procede come per l'uguaglianza), ricordati che la radice quadrata si applica ambo i membri per eliminare un quadrato, ma in $\cos x^2 \ne -1$ il quadrato compare come argomento del coseno; quindi, anche se tu potessi farlo, non semplificheresti nulla applicando la radice quadrata subito. Devi prima risolvere l'equazione trigonometrica, in modo da far sparire il coseno lasciando solo il suo argomento $x^2$ (riconducendoti così ad un'equazione di secondo grado, che puoi semplificare effettivamente applicando la radice). Se ti disturba il quadrato, chiama momentaneamente $t=x^2$ e risolvi $\cos t \ne -1$. Questo dovresti saperlo fare, visto che è un'equazione trigonometrica elementare. Dopo aver fatto ciò, torna in $x$ sostituendo nuovamente $t=x^2$.

[ghira1]

"Marco1005":
è una funzione periodica di periodo $2pi$, quindi si ripete ogni $360°$, ricordo solo la circonferenza
goniometrica di raggio 1, nella quale il coseno parte da 1 (quando l'angolo è zero gradi), poi passa a zero in $pi/2$, poi passa a -1 in $pi$, poi ritorna a zero in $3/2pi$ e poi ritorna a 1 in $2pi$

quindi appena superiamo l'angolo di 90° comunque il coseno è negativo (prima ho sparato una minchiata)
più di questo non so

Può essere minore di -1?

[Marco1985Mn]

"ghira":[quote="Marco1005"]

Può essere minore di -1?

[/quote]

no - oscilla tra 1 e -1