Dominio di funzione

[89mary-votailprof]

ho un problema con questi domini...
$y=log_2[(pi)/4 + arc tg (x^2-5/2x)]$
per prima cosa pongo tutto ciò che c'è scritto nella parentesi quadra>0, essendo argomento del logaritmo.
ma come si risolve:
$arc tg (x^2-5/2x) > -(pi)/4$?
so che il dominio di arctg è tutto R...
dovrei per caso fare che $ -(pi)/4<(x^2-5/2x)<$+infinito?


poi c'è quest'altra...
$y= sqrt((arcsen(x-2))/(arcsen(2x-3)))$
per prima cosa pongo tutto il radicando $>=0$
e quindi scindo in N(x) e D(x). a questo punto però ho
$arcsen(x-2)>=0$ devo prima vedere quando l'arcsen è $>=0$? e cioè tra $0;(pi)/2$?
so che il dominio di arcsen è tra -1 e 1. ciò significa che devo porre $-1<= (x-2)<=1$?
e lo stesso vale anche per il denominatore.
grazie in anticipo per l'aiuto

[cozzataddeo]

"sweet swallow":ho un problema con questi domini...
$y=log_2[(pi)/4 + arc tg (x^2-5/2x)]$
per prima cosa pongo tutto ciò che c'è scritto nella parentesi quadra>0, essendo argomento del logaritmo.
ma come si risolve:
$arc tg (x^2-5/2x) > -(pi)/4$?
so che il dominio di arctg è tutto R...
dovrei per caso fare che $ -(pi)/4<(x^2-5/2x)<$+infinito?

L'idea è giusta ma la disequazione corretta è

$x^2-5/2x > -1$

"sweet swallow":poi c'è quest'altra...
$y= sqrt((arcsen(x-2))/(arcsen(2x-3)))$
per prima cosa pongo tutto il radicando $>=0$
e quindi scindo in N(x) e D(x). a questo punto però ho
$arcsen(x-2)>=0$ devo prima vedere quando l'arcsen è $>=0$? e cioè tra $0;(pi)/2$?
so che il dominio di arcsen è tra -1 e 1. ciò significa che devo porre $-1<= (x-2)<=1$?

Esatto.

"sweet swallow":e lo stesso vale anche per il denominatore.

Esatto, con la precisazione che non devi mettere $geq$ ma solo $>$.
Naturalmente alla fine devi fare lo schema in cui applicare la regola dei segni per determinare il segno complessivo della frazione.

[89mary-votailprof]

"Cozza Taddeo":
L'idea è giusta ma la disequazione corretta è

$x^2-5/2x > -1$

perchè viene >-1? non mi è chiaro...

per la seconda, cmq non mi trovo col risultato che è
$[1;3/2[U 2$

io ho fatto così:
ho fatto questo sistema
$(arcsen(x-2))/(arcsen(2x-3))>=0$
poi ho scisso
$arcsen(x-2)>=0$ 1)
$arcsen(2x-3)>0$ 2)

allora ho svolto la 1)
mi viene che l'arcsen è >=0 per $0<=x<=(pi)/2$
allora -1≤(x-2)≤1 e cioè $1<=x<=3$
ma se lo confronto con $0<=x<=(pi)/2$, esce che $2<=x<=3$.
ho sbagliato qualcosa? la stessa cosa ho fatto per il denominatore e no nmi trovo col risultato
non è che qualcuno mi può scrivere tutti i passaggi?
grazie

[cozzataddeo]

"sweet swallow":[quote="Cozza Taddeo"]
L'idea è giusta ma la disequazione corretta è

$x^2-5/2x > -1$

perchè viene >-1? non mi è chiaro...[/quote]
L'espressione $arctg(q)$ indica un angolo (o arco) la cui tangente vale $q$. Ora, se deve valere

$arctg(q) > -pi/4$

significa che l'angolo indicato dal primo membro è superiore a $-pi/4$ e quindi la sua tangente $q$ deve essere superiore a $tg(-pi/4)$, dal momento che la funzione tangente è monotona crescente. Quindi si ricava

$q > tg(-pi/4)$ ovvero $x^2-5/2x > -1$

In alternativa si può anche ragionare in questo modo: poiché la tangente è una funzione monotona crescente allora se la applico ad entrambi i membri della disequazione il verso non cambia per cui si ha

$tg(arctg(x^2-5/2x)) > tg(-pi/4)$ da cui $x^2-5/2x > -1$

"sweet swallow":per la seconda, cmq non mi trovo col risultato che è
$[1;3/2[U 2$

Il dominio del numeratore è

$-1<=(x-2)<=1$ da cui $1<=x<=3$

mentre quello del denominatore è

$-1<=(2x-3)<=1$ da cui $1<=x<=2$

Mettendo a sistema i due risultati si ha il vincolo $1<=x<=2$: il segno del radicando va quindi valutato necessariamente all'interno di questo intervallo.
Detto questo, il segno del numeratore risulta

$arcsen(x-2)>=0$ per $0<=x-2<=1$ ovvero $2<=x<=3$

e quello del denominatore

$arcsen(2x-3)>0$ per $0<2x-3<1$ ovvero $3/2
Applicando la regola dei segni (all'interno dell'intervallo $[1,2]$) si trova che il radicando è positivo per

$1
e vale zero per $x=1$ e $x=2$ (attenzione a quest'ultimo valore solitario!!! È soluzione pure lui!!!). Perciò il dominio risulta

$[1,3/2[uu2$

e anche questa volta il libro ha ragione!

[89mary-votailprof]

grazie mille taddeo

[cozzataddeo]

Di niente.

Buono studio!