Dominio di derivata

[Marcel1]

che relazione c'è tra il dominio della funzione e il dominio della sua derivata prima e perchè i loro domini non coincidono?
ad esempio y= log x log=logaritmo naturale
y'=1/x
il dominio della funzione è x maggiore di zero
quello della derivata è tutto R ad eccezione di zero
cosa significa calcolare la derivata per un punto che non appartiene alla funzione?

inoltre,come si fa a capire dalla funzione derivata y'=fx per quali punti la derivata non esiste,o è diversa dalla sinistra e dala destra?
grazie spero di non aver detto sciocchezze

[Gatto891]

Innanzitutto puoi derivare solo dove la funzione esiste, se la funzione non è continua non è neanche derivabile (mentre è invece vero il viceversa).

Per il secondo punto dico quello che mi ricordo. La funzione non è derivabile:

1) Dove la funzione non è continua.
2) Dove la derivata non esiste (campo di esistenza della funzione derivata).
3) Dove i limiti destro e sinistro non coincidono, per esempio nella funzione $|x|$ i limiti destro e sinistro della derivata per $x -> 0$ non coincidono e quindi la funzione non è derivabile nel punto $x = 0$

[Fioravante Patrone1]

"Gatto89":Innanzitutto puoi derivare solo dove la funzione esiste

SOTTOSCRIVO!!!

La derivata in un punto $x_0$, è il limite del rapporto incrementale (se esiste ed è un numero reale), per fare il quale occorre che la funzione sia definita in $x_0$. Sennò sarà difficile calcolare l'incremento...

Attenzione a non farsi "imbrogliare" da formule che sembrano dire l'opposto.
La derivata del logaritmo (naturale) è 1/x solo per x>0.
Il fatto che la formula 1/x abbia senso anche per x<0 non ha importanza, per la derivabilità del logaritmo.

[Martino]

"Fioravante Patrone":Il fatto che la formula 1/x abbia senso anche per x<0 non ha importanza, per la derivabilità del logaritmo.

Già, e questo per uno studente delle superiori è forse difficile da digerire data la barbara utilizzazione che alle superiori viene fatta del termine "dominio" (che non viene quasi mai distinto dal "dominio naturale" o "massimale").

[cozzataddeo]

"Martino":[quote="Fioravante Patrone"]Il fatto che la formula 1/x abbia senso anche per x<0 non ha importanza, per la derivabilità del logaritmo.

Già, e questo per uno studente delle superiori è forse difficile da digerire data la barbara utilizzazione che alle superiori viene fatta del termine "dominio" (che non viene quasi mai distinto dal "dominio naturale" o "massimale").[/quote]
Confermo. Tanto che ogni volta mi diverto a prendere la funzione $y=x^2$ e renderla surietiva ed iniettiva solamente agendo su dominio e insieme di arrivo. Il fatto è che alle superiori si tende a far coincidere una funzione con la sua espressione analitica, dimenticandosi dei due insiemi tra cui quell'espressione si muove...

[Marcel1]

i punti di discontinuità della funzione quindi se ho capito non fanno mai parte dell'insieme di definizione della derivata giusto?
se in xo la funzione presenta una discontinuità di prima specie, in x1 di seconda e in x2 di terza a quale valore tenderà la derivata al tendere di x rispettivamente a x0 ad x1 e ad x2?
mi scuso se queste domande sono banali