Dominio dell'arcoseno
Quando si calcola il dominio della funzione arcoseno bisogna porre : $-1<=f(x)<=1$ . Il risultato del dominio, quindi, sarà l'intersezione delle soluzioni ottenute dalle disequazioni $f(x)>=-1$ e $f(x)<=-1$ o l'unione?
Risposte
E' l'intersezione! (però ci voleva $f(x)<= 1$... ti è scappato un $-$ di troppo 
). Ad ogni modo la puoi considerare la soluzione del sistema
${(f(x)>=-1),(f(x)<=1):}$
Dato che $f(x)$ deve essere $>= -1$ e contemporaneamente $<= 1$.
PS. L'unione coprirebbe sempre tutto $RR$...
). Ad ogni modo la puoi considerare la soluzione del sistema${(f(x)>=-1),(f(x)<=1):}$
Dato che $f(x)$ deve essere $>= -1$ e contemporaneamente $<= 1$.
PS. L'unione coprirebbe sempre tutto $RR$...
Era come pensavo allora . Comunque mi è venuto questo dubbio quando sono andato a calcolare il dominio della funzione $arcsen(1/(xy))$. Io ho trovato come dominio l'insieme vuoto perché non ho trovato nessuna intersezione tra le soluzioni delle due disequazioni : $1/(xy)>=-1$ e $1/(xy)<=1$ che diventano $xy<=-1$ e $xy>=1$ . Però a quanto pare il dominio è un altro, ovvero la parte di piano chiusa delimitata dalle due iperboli $xy= +-1$, in altre parole la parte interna delle due iperboli compresi i punti giacenti sulle stesse.
. Comunque mi è venuto questo dubbio quando sono andato a calcolare il dominio della funzione $arcsen(1/(xy))$. Io ho trovato come dominio l'insieme vuoto perché non ho trovato nessuna intersezione tra le soluzioni delle due disequazioni : $1/(xy)>=-1$ e $1/(xy)<=1$ che diventano $xy<=-1$ e $xy>=1$ . Però a quanto pare il dominio è un altro, ovvero la parte di piano chiusa delimitata dalle due iperboli $xy= +-1$, in altre parole la parte interna delle due iperboli compresi i punti giacenti sulle stesse.
"catux":
due disequazioni : $1/(xy)>=-1$ e $1/(xy)<=1$ che diventano $xy<=-1$ e $xy>=1$
Se sto dicendo una cavolata scusatemi, ma il denominatore $xy$, non essendo sicuri del segno, non si può semplificare giusto?
"marcosocio":
[quote="catux"]due disequazioni : $1/(xy)>=-1$ e $1/(xy)<=1$ che diventano $xy<=-1$ e $xy>=1$
Se sto dicendo una cavolata scusatemi, ma il denominatore $xy$, non essendo sicuri del segno, non si può semplificare giusto?[/quote]
Giusto.
Per risolvere si segue sempre lo stesso procedimento: si porta il membro di destra a sinistra e si fa il minimo:
$1/(xy)>= -1 rarr 1/(xy)+1>=0 rarr (1+xy)/(xy)>=0$ e si procede a studiare i segni senza separare $xy$ poichè compaiono sempre insieme e questo equivale a una sostituzione tipo $xy=t$.
Ricordavo che si potesse fare ciò che ho fatto. Evidentemente mi sbagliavo comunque a voi che soluzioni escono? qual è il dominio? Prendendo in considerazione le disequazioni : $\{(1/(xy)>=-1),(1/(xy)<=1):}$ $\Rightarrow$ $\{((1+xy)/(xy)>=0),((1-xy)/(xy)<0):}$ ottengo il dominio che considera tutti i punti presenti nel 1 quadrante interni all'iperbole. Secondo voi può essere questo?
comunque a voi che soluzioni escono? qual è il dominio? Prendendo in considerazione le disequazioni : $\{(1/(xy)>=-1),(1/(xy)<=1):}$ $\Rightarrow$ $\{((1+xy)/(xy)>=0),((1-xy)/(xy)<0):}$ ottengo il dominio che considera tutti i punti presenti nel 1 quadrante interni all'iperbole. Secondo voi può essere questo?
Mi risultano i punti del II e IV quadrante compresi tra l'iperbole $xy= -1$ e gli assi cartesiani, mentre nel I quelli sopra e nel III quelli sotto l'iperbole $xy= 1$
Sostituendo come dice minomic, a me viene $t\leq-1\veet\geq1$.
Riformulando meglio il tutto ho deciso che è forse più conveniente agire in questa maniera :
$\{(-1<=1/(xy)<=1),(xy!=0):}$ $\Rightarrow$ $\{(-xy<=1<=xy),(xy!=0),(xy>0):}$ $uu$ $\{(xy<=1<=-xy),(xy!=0),(xy<0):}$ $\Rightarrow$ $\{(xy>=-1 nn xy>=1),(xy!=0),(xy>0):}$ $uu$ $\{(xy<=1 nn xy<=-1),(xy!=0),(xy<0):}$
In questo modo il dominio che ottengo comprende tutti i punti esterni alle due iperboli comprese le stesse. Ho provato ad inserire la funzione in "Wolfram" e ottengo proprio questo risultato. Comunque grazie per avermi risposto. 
$\{(-1<=1/(xy)<=1),(xy!=0):}$ $\Rightarrow$ $\{(-xy<=1<=xy),(xy!=0),(xy>0):}$ $uu$ $\{(xy<=1<=-xy),(xy!=0),(xy<0):}$ $\Rightarrow$ $\{(xy>=-1 nn xy>=1),(xy!=0),(xy>0):}$ $uu$ $\{(xy<=1 nn xy<=-1),(xy!=0),(xy<0):}$
In questo modo il dominio che ottengo comprende tutti i punti esterni alle due iperboli comprese le stesse. Ho provato ad inserire la funzione in "Wolfram" e ottengo proprio questo risultato.
Comunque grazie per avermi risposto.
Ci viene la stessa cosa! È già un buon risultato
Yes, confermo che il risultato che avete trovato è corretto: $xy<= -1 vv xy>= 1$ cioè "i punti esterni alle due iperboli comprese le stesse" come dice catux.
Ci si poteva arrivare anche "a occhio" ragionando in questo modo: le condizioni limite su $1/(xy)$ si raggiungono quando il denominatore vale $+1$ o $-1$, cioè quando $xy=1$ oppure $xy=-1$ che sono appunto le due iperboli. A questo punto per capire quale sia la parte di piano giusta si può pensare che se il denominatore cresce la frazione si allontana da 1 e diventa più piccola, cioè va verso valori accettabili (avvicinandosi allo $0$ senza mai raggiungerlo). Al contrario se il denominatore diventa più piccolo la frazione cresce e oltrepassa i limiti consentiti. Dire che il "denominatore cresce" (ovviamente parlando del suo valore assoluto) significa dire che il prodotto $xy$ cresce, quindi ci allontaniamo dall'origine. Conclusione: la parte esterna. E tutto senza nemmeno un calcolo!
Poi è chiaro che in un compito si devono mostrare i passaggi, però non è una cattiva idea quella di abituarsi a ragionare!
Ci si poteva arrivare anche "a occhio" ragionando in questo modo: le condizioni limite su $1/(xy)$ si raggiungono quando il denominatore vale $+1$ o $-1$, cioè quando $xy=1$ oppure $xy=-1$ che sono appunto le due iperboli. A questo punto per capire quale sia la parte di piano giusta si può pensare che se il denominatore cresce la frazione si allontana da 1 e diventa più piccola, cioè va verso valori accettabili (avvicinandosi allo $0$ senza mai raggiungerlo). Al contrario se il denominatore diventa più piccolo la frazione cresce e oltrepassa i limiti consentiti. Dire che il "denominatore cresce" (ovviamente parlando del suo valore assoluto) significa dire che il prodotto $xy$ cresce, quindi ci allontaniamo dall'origine. Conclusione: la parte esterna. E tutto senza nemmeno un calcolo!
Poi è chiaro che in un compito si devono mostrare i passaggi, però non è una cattiva idea quella di abituarsi a ragionare!
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