Domande su funzione iniettiva

[Marco1985Mn]

Rieccomi con un altro piccolo quesito.
è vero che una funzione strettamente monotona è iniettiva?
inizialmente ho risposto vero; ma poi rileggendo la dispensa del professore cita l'esempio della funzione
$y=1/x$ - questa funzione non è iniettiva anche se monotona decrescente in quanto la x è esclusa dal dominio. Pertanto non c'è quell'associazione univoca tra elementi del dominio ed elementi immagine giusto?
Corretto come ragionamento?
Ogni funzione che presenta punti esclusi dal dominio pertanto non potrà mai essere iniettiva?
Grazie mille

[Gi81]

Ti chiedo conferma: quando scrivi $y=1/x$, intendi questo?
$f: RR \\ {0} -> RR$ definita da $f(x):= 1/x$ per ogni $x in RR$

[axpgn]

"Marco1005":Ogni funzione che presenta punti esclusi dal dominio pertanto non potrà mai essere iniettiva?

Che cosa significa questa frase?

[Marco1985Mn]

"Gi8":Ti chiedo conferma: quando scrivi $y=1/x$, intendi questo?
$f: RR \\ {0} -> RR$ definita da $f(x):= 1/x$ per ogni $x in RR$

si esatto

[Marco1985Mn]

"axpgn":[quote="Marco1005"]Ogni funzione che presenta punti esclusi dal dominio pertanto non potrà mai essere iniettiva?

Che cosa significa questa frase? [/quote]
nel senso che se ci sono funzioni dove una o più x non appartengono al dominio, significa che in quei punti non ci sarà un'associazione biunivoca tra y e x, come richiesto dalla definizione di funzione iniettiva; pertanto
tutte le funzioni che presentano "problemi di dominio " come appunto $y=1/x$ non sono iniettive seppur monotone. Sbaglio?

[axpgn]

"Marco1005": Sbaglio?

Sì, a prescindere

Se un punto non appartiene al dominio della funzione allora lì la funzione NON ESISTE quindi non ha nessun senso chiedersi se lì la funzione possiede delle proprietà; ok?

[Marco1985Mn]

"axpgn":[quote="Marco1005"] Sbaglio?

Sì, a prescindere

Se un punto non appartiene al dominio della funzione allora lì la funzione NON ESISTE quindi non ha nessun senso chiedersi se lì la funzione possiede delle proprietà; ok?[/quote]

eh ma è la stessa domanda formulata all'inizio - ha senso dire che una funzione monotona è anche iniettiva? No non ha senso perchè ci sono funzioni monotone che non sono iniettive per il motivo da me citato....o no?

[axpgn]

Ma $f(x)=1/x$ è iniettiva. Però non è monotona.

[axpgn]

Secondo te $f(x)=x^2/x$ è iniettiva?

[Studente Anonimo]

$f: RR \\ {0} -> RR$ definita da $f(x):= 1/x$ per ogni $x in RR \\ {0}$

Questa funzione è iniettiva. Si dimostra facilmente.

[Marco1985Mn]

"axpgn":Ma $f(x)=1/x$ è iniettiva. Però non è monotona.

perchè no? è sempre decrescente no?

[axpgn]

Quanto vale $f(-1)$?
Quanto vale $f(2)$?
Se non ricordo male la definizione di funzione decrescente dovrebbe essere che per ogni $x_2>x_1$ implica $f(x_2)

Cita

Segnala

[Studente Anonimo]

Marco, qual è la tua definizione di funzione decrescente?

Te ne propongo una io: dato un sottoinsieme $D$ di $RR$, una funzione $f: D to RR$ di dominio $D$ si dice decrescente se, per ogni $a,b in D$ tali che $a le b$ si ha $f(a) ge f(b)$.

Se ti piace questa definizione, osserva che la funzione

$f:RR \\ {0} to RR$ definita da $f(x)=1/x$

(di dominio $D=RR \\ {0}$, cioè l'insieme dei reali diversi da $0$) non è decrescente. Infatti se prendiamo $a=-1$ e $b=1$ abbiamo ovviamente $a < b$ ma $f(a)=-1$ è minore di $f(b)=1$. Cioè $-1 < 1$ ma $f(-1) < f(1)$. Quindi $f$ non è decrescente.

Però se cambi il dominio della funzione $f$ (senza cambiare la regola) puoi ottenere funzioni decrescenti. Per esempio

$g: RR_(>0) to RR$ definita da $g(x)=1/x$

$h: RR_(<0) to RR$ definita da $h(x)=1/x$

sono decrescenti (qui $RR_(>0)$ indica l'insieme dei numeri reali positivi, $RR_(<0)$ indica l'insieme dei numeri reali negativi). Per esempio per dimostrare che $g$ è decrescente puoi prendere $a < b$ nel dominio (quindi $a,b$ sono positivi) e osservare che dividendo entrambi i membri di $a < b$ per $ab$ si ottiene $1/b < 1/a$ (il verso della disuguaglianza non cambia perché $ab$ è positivo) e cioè $1/a > 1/b$, e cioè $g(a) > g(b)$. Osserva che l'ipotesi fondamentale perché questo funzioni è che $a,b$ sono positivi (stanno nel dominio di $g$) Se fossero uno positivo e l'altro negativo questa dimostrazione non funzionerebbe. Questo dimostra anche che la monotonia di una funzione dipende fortemente dal suo dominio. E il dominio non si può "calcolare", il dominio ti viene dato ed è parte integrante della funzione stessa (le funzioni $f,g,h$ che ho definito sopra sono tre funzioni diverse).

[axpgn]

"Martino":Te ne propongo una io: dato un sottoinsieme $D$ di $RR$, una funzione $f: D to RR$ di dominio $D$ si dice decrescente se, per ogni $a,b in D$ tali che $a le b$ si ha $f(a) ge f(b)$.

Eh ma se gli inverti i versi rispetto alla mia lo mandi in confusione

(Scherzo, ribadisco che sto scherzando, a scanso di equivoci )

[Studente Anonimo]

A scanso di equivoci, dico a Marco che la mia definizione di funzione decrescente e quella di Alex sono perfettamente equivalenti.

[Marco1985Mn]

Allora la definizione di Martino è quella che ho sempre letto anche io, il problema è che se faccio la derivata prima della funzione $y=1/x$ risulta $(-1)/x^2$

studiando il segno del numeratore e del denominatore la funzione risulta sempre avere una pendenza negativa; visto che la derivata prima rappresenta la pendenza, a pendenza negativa corrisponde funzione decrescente. Io l'avevo intesa così





quindi per me era strettamente monotona perchè la funzione "scende sempre"

[Marco1985Mn]

"axpgn":Secondo te $f(x)=x^2/x$ è iniettiva?

semplifico e mi risulta $f(x) = x$ ad ogni y viene associata una sola x, quindi si è iniettiva

[Marco1985Mn]

Rileggendo meglio forse ho capito il mio errore.
allora una funzione iniettiva è quella che associa ad ogni elemento del dominio, un e un solo elemento dell'insieme immagine. Quindi nel mio caso $x=0$ è escluso dal dominio e quindi come detto da Alex non ha senso attribuirgli proprietà; mentre tutti gli altri punti rispettano la definizione. Pertanto la funzione è iniettiva. Per la monotonia dovrebbe essere un grafico unico totalmente decrescente, mentre nel mio caso il grafico è spezzettato in due parti, prima e dopo lo zero. Aumentando le x dovrei avere y sempre piu piccole, ma questo non si verifica quando passo ad esempio da -1 a +2, dove la y aumenta con $x=2$ rispetto a $x=-1$. Motivo per cui la funzione non è ne strettamente decrescente e ne decrescente in senso lato; pertanto non monotona.
Ora ci sono?
Grazie

[axpgn]

"Marco1005":allora una funzione iniettiva è quella che associa ad ogni elemento del dominio, un e un solo elemento dell'insieme immagine.

No, questa è la proprietà che definisce una funzione, l'iniettività è qualcosa in più ovvero ad ogni elemento dell'immagine corrisponde uno e un solo elemento del dominio, più formalmente se $f(x_1)=f(x_2)$ allora $x_1=x_2$
Il resto mi pare corretto.

[Mephlip]

@Marco1005: Il punto è che, come già ti dissi, i teoremi hanno delle ipotesi. Il teorema che vorresti usare tu, ossia quello che correla il segno della derivata prima alla monotonia, richiede che la funzione in considerazione sia definita in un intervallo. L'insieme $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ non è un intervallo; non valendo una delle ipotesi del teorema, esso non si applica ad $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ definita ponendo $f(x)=1/x$. Il motivo per cui viene fatta tale richiesta è che, nella dimostrazione di quel teorema, si usa il teorema di Lagrange (teorema del valor medio) e, a sua volta, il teorema di Lagrange richiede che la funzione in considerazione sia definita in un intervallo (oltre al fatto che questa funzione è proprio un esempio di come la tesi non valga in generale).

Ti dico anche perché l'intuizione ti frega in questo contesto: è vero che il dominio della funzione non è un intervallo, però è unione disgiunta di intervalli: $(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$. Quindi, dato che nei singoli intervalli $(-\infty,0)$ e $(0,+\infty)$ la derivata è negativa, nei singoli intervalli le ipotesi del teorema sono verificate e quindi nei singoli intervalli hai decrescenza (come si vede dal grafico da te riportato). Ma non la hai dappertutto (ossia, non la hai quando un punto appartiene ad uno dei due intervalli e un altro punto appartiene all'altro intervallo).

[Marco1985Mn]

Si hai ragione, infatti mi ha fregato l'utilizzo della derivata prima.
Non ho confrontato la definizione di decrescenza prendendo due punti in due diversi intervalli ma li ho presi prima di zero e dopo zero. Quindi per me era stupidamente ok