Domanda sull'ellisse
Perché un rettangolo inscritto in un'ellisse ha i lati paralleli agli assi cartesiani? Intuitivamente ci arrivo ma non riesco a darne una dimostrazione non analitica.
Grazie!
Grazie!
Risposte
Ho posto un quesito tanto insolvibile? xD
Ho cercato una spiegazione facile, ma senza successo. Spero in smentite, ma temo proprio che il tuo quesito sia davvero "tanto insolvibile".
"giammaria":
Ho cercato una spiegazione facile, ma senza successo. Spero in smentite, ma temo proprio che il tuo quesito sia davvero "tanto insolvibile".
Mmh...io avevo pensato a questo ma ci dovrebbe essere un errore negli ultimi passaggi:
consideriamo un'ellisse e una retta r che la interseca in A e B non parallela agli assi dell'ellisse. Da A mandiamo la perpendicolare alla retta passante per AB che interseca l'ellisse in D, chiamiamo C l'ulteriore punto del rettangolo. Per dimostrare che C non sta sull'ellisse ragiono in questo modo: mando l'asse del segmento AD, per costruzione esso dovrà essere l'asse anche di BC, ma se C stesse sull'ellisse significherebbe che l'ellisse è simmetrica rispetto ad una retta non parallela al segmento passante per i fuochi e quello ad esso perpendicolare, proprietà di cui non gode.
Comunque a questo punto accetto anche una soluzione analitica o comunque molto complessa, nel caso l'avessi trovata.
Grazie come sempre
Il tuo mi sembra un buon metodo, anche se la conclusione dovrebbe essere affinata: se C stesse sull'ellisse significherebbe che l'ellisse contiene due coppie di punti con quella simmetria, non che l'ellisse stessa è simmetrica (occorrerebbe dimostrare che dalla prima affermazione consegue la seconda).
Ispirandomi alla tua soluzione, te ne do un'altra più calcolosa; considero la solita ellisse riferita ai propri assi.
Sia $ABCD$ un parallelogramma in essa inscritto e l'equazione di $AB$ sia $y=mx+q_1$, con $m!=0$; calcoli facilmente che il punto medio ai $AB$ è $M(-(ma^2q_1)/(m^2a^2+b^2),(b^2q_1)/(m^2a^2+b^2))$. Formula analoga vale per il punto medio $N$ di $CD$, avendo attribuito a quella retta l'equazione $y=mx+q_2$. Si ha quindi
$m_(MN)=(y_M-y_N)/(x_M-x_N)=...= -b^2/(ma^2)$
Ma se $ABCD$ è un rettangolo, $MN$ deve essere perpendicolare ad $AB$ e quindi deve essere $m_(MN)=-1/m$; questo valore può essere ottenuto solo se $a=b$, cioè se l'ellisse degenera in una circonferenza.
Ispirandomi alla tua soluzione, te ne do un'altra più calcolosa; considero la solita ellisse riferita ai propri assi.
Sia $ABCD$ un parallelogramma in essa inscritto e l'equazione di $AB$ sia $y=mx+q_1$, con $m!=0$; calcoli facilmente che il punto medio ai $AB$ è $M(-(ma^2q_1)/(m^2a^2+b^2),(b^2q_1)/(m^2a^2+b^2))$. Formula analoga vale per il punto medio $N$ di $CD$, avendo attribuito a quella retta l'equazione $y=mx+q_2$. Si ha quindi
$m_(MN)=(y_M-y_N)/(x_M-x_N)=...= -b^2/(ma^2)$
Ma se $ABCD$ è un rettangolo, $MN$ deve essere perpendicolare ad $AB$ e quindi deve essere $m_(MN)=-1/m$; questo valore può essere ottenuto solo se $a=b$, cioè se l'ellisse degenera in una circonferenza.
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