Domanda sulle potenze con esponente fratto

[davikokar]

Qualcuno potrebbe chiarire questo paradosso? Si tratta di potenze con esponente fratto. Per definizione una potenza con esponente fratto può essere riscritta con il numeratore dell'esponente come esponente della potenza e con il denominatore come indice di una radice. Fin qui tutto regolare. Ora però prendiamo questa operazione: $(-27)^(1/3)$, che fa -3. E questa operazione: $(-27)^(2/6)$, che invece fa 3. Le due operazioni sembrano suggerire che 1/3 sia diverso da 2/6.

[fmnq]

La potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze. Ma allora chi è la radice terza di $-1$?

[gugo82]

Il problema non è che $1/3 != 2/6$, piuttosto che manca il presupposto per la validità dell’uguaglianza $(-27)^(1/3) = (-27)^(2/6)$… Anzi, il presupposto per usare la notazione con potenza frazionaria.

Spiego, ma la cosa è un po’ lunga.

Infatti, come si definiscono le radici?
Lo si fa attraverso il seguente teorema di esistenza ed unicità (che esprime una importante proprietà dei numeri reali):

Comunque si scelgano un indice $n in NN$ con $n >= 2$ ed un numero reale $x >= 0$ esiste un unico numero reale $y >= 0$ tale che:
\[
x = y^n\; .
\]
Il numero $y$ così individuato si chiama radice $n$-esima aritmetica di $x$ e si denota col simbolo $root[n](x)$ o con il simbolo $x^(1/n)$.[nota]Spiegare perché venga usato proprio $1/n$ come esponente è cosa lunga, quindi prendiamola così al momento.[/nota]

Da ciò, il passo per definire la potenza $x^(m/n)$ è breve: se $m in ZZ$, si pone:
\[
x^\frac{m}{n} := \left( \sqrt[n]{x}\right)^m
\]
(e la definizione è buona anche perché non dipende dall’ordine in cui si calcolano potenza e radice, dato che $root[n]{x^m} = (root[n](x))^m$).
Ovviamente, questa definizione vale solo se $x >= 0$ (o $x>0$ quando $m<0$) perché le radici sono definite (attraverso il teorema precedente) solo per tali valori di $x$.
Con questa definizione alla mano, si dimostra che per $x>0$ valgono per la potenza ad esponente frazionario tutte le usuali regole di calcolo cui siamo abituati dalle scuole medie.

Quello che il teorema di esistenza ed unicità precedente non dice è cosa accade quando $x<0$.
Esistono ancora numeri reali $y$ tali che $y^n=x$ quando $x<0$?
Se sì, tali $y$ esistono per ogni valore dell’esponente $n$ oppure solo per alcuni di essi?
Se esistono, qual è la relazione (se ce n’è qualcuna…) tra questi numeri $y$ e quelli del teorema precedente?

La risposta a queste domande viene dall’Algebra che si conosce dalle scuole medie.
Se l’esponente $n$ è un numero pari (cioè $n=2,4,6,…$) non c’è alcuna possibilità che esista qualche $y in RR$ tale che $y^n=x$: infatti, il numero $y^n$ o è positivo oppure è uguale a zero, mentre $x$ è per ipotesi di lavoro negativo, ed è un fatto ben noto che un numero maggiore o uguale a zero ($y^n$) non può essere uguale ad un numero negativo ($x$).

Se, invece, l’esponente $n$ è dispari ($n=3,5,7,…$) il numero $y^n$ ha lo stesso segno di $y$ e perciò se vogliamo $y^n=x$ con $x<0$ dobbiamo prendere per lo meno anche $y<0$. Da qui in avanti supponiamo $n=3$ per non appesantire la discussione.
Visto che cerchiamo $y<0$, possiamo scrivere $y = - |y|$ e perciò abbiamo $y^3 = (-|y|)^3 = - (|y|)^3$; dunque risulta $ y^3 = x$ se e solo se $ - (|y|)^3 = x$, cioè se $(|y|)^3 = -x$ ossia $(|y|)^3=|x|$ (poiché essendo $x<0$ abbiamo $-x =|x|$). Visto che $|x| >0$, esiste un unico numero $>0$ che elevato al cubo dà come risultato $|x|$ e tale numero è $root[3](|x|)$; quindi $|y| = root[3](|x|)$ e da ciò ricaviamo che il numero negativo
\[
y=-\sqrt[3]{|x|}=-\sqrt[3]{-x}
\]
è l’unico che elevato al cubo dà come risultato $x<0$.
Questo ragionamento si ripete tale e quale per un generico indice dispari $n$ ed, in particolare si trova che il numero negativo:
\[
y = - \sqrt[n]{|x|} = -\sqrt[n]{-x}
\]
è l’unico che elevato alla $n$ dà come risultato $x<0$.
Abbiamo così dimostrato il seguente teorema che completa il teorema di esistenza ed unicità iniziale:

Se $n in NN$ è dispari ed $x<0$ esiste un unico numero reale $y <0$ tale che $y^n =x$.
Tale numero si chiama radice $n$-esima aritmetica di $x$ e si denota col simbolo $root[n](x)$.

Dunque se l’indice $n$ è dispari ed $x<0$ vale la regola di calcolo $root[n](x) = - root[n](-x)$ (che è proprio la definizione di radice dispari quando il radicando è negativo).

Osserva che non si è dato nessun significato alla potenza $x^(1/n)$ quando $x<0$ e ciò implica che non si dà significato a nessuna potenza del tipo $x^(m/n)$ quando $x<0$.
Ciò, essenzialmente, dipende proprio da fattacci che accadono quando si vuole tenere “due piedi in una scarpa”, ossia tenere insieme due cose incompatibili: l’uso delle potenze frazionarie con basi negative e la validità delle usuali regole di calcolo con le potenze.
Perché?
Vediamo con un esempio semplice.
Sfruttando la definizione di radice cubica con radicando negativo otteniamo:
\[
\sqrt[3]{-1} = -\sqrt[3]{-(-1)} = - \underbrace{\sqrt[3]{1}}_{ = 1} = -1\; .
\]
Dunque, se volessimo generalizzare l’uso di potenze ad esponente frazionario al caso in esame, dovremmo poter dire che
\[
(-1)^\frac{1}{3} = -1\; .
\]
Valendo le usuali regole di calcolo con le potenze, dovremmo poter scrivere senza intoppi:
\[
-1 = (-1)^\frac{1}{3} = \left\{ \left[ (-1)^\frac{1}{3} \right]^2 \right\}^\frac{1}{2} = \left\{ \left[ -1 \right]^2 \right\}^\frac{1}{2} = \left\{ 1 \right\}^\frac{1}{2} = 1
\]
ma ciò è assurdo, perché $-1 != 1$ anche nei peggiori bar di Caracas!

Siamo fregati… L’assurdo al quale siamo pervenuti ci dice chiaro e tondo che non possiamo tenere insieme l’uso delle potenze frazionarie con basi negative e la validità delle usuali regole di calcolo con le potenze.

Ed allora che si fa?
Semplicemente si ragiona secondo l’importanza delle cose: cos’è più importante che funzoni, il calcolo con le proprietà delle potenze o la notazione con esponente frazionario anche per basi negative?
Data l’importanza del calcolo con le potenze, si sceglie senza alcun dubbio la prima e perciò non si dà nessun significato (in campo reale) alle potenze frazionarie quando la base è negativa.

Per questo motivo, scrivere $(-27)^(1/3)$ è sbagliato e la domanda è insensata.

[davikokar]

Ciao Gugo, grazie della risposta. Strano però che la mia calcolatrice scientifica non mi segnala il nonsenso quando provo a calcolare una potenza con base negativa e esponente fratto. Hai magari qualche link da suggerire sul tema del perché viene usata la notazione $1/n$ (mi riferisco alla nota). Grazie ancora

[gugo82]

Semplice.

Per com’è definita, la funzione radice $n$-esima è la funzione inversa della potenza $n$-esima ristretta a $[0,+oo[$, poiché infatti si ha:
\[
\begin{split}
(\sqrt[n]{x})^n &= x \\
\sqrt[n]{x^n} &= x
\end{split}
\]
(la prima è la definizione della radice; la seconda si dimostra con facilità).
Supponiamo di voler determinare con ragionevolezza un esponente $a$ tale che $root[n](t) = t^a$ per $t>=0$.
Dalle relazioni precedenti e dalle proprietà delle potenze segue che deve risultare:
\[
\begin{cases}
(x^a)^n = x \\
(x^a)^n = x^{a\cdot n}
\end{cases}\quad \Rightarrow \quad x^{a\cdot n} = x^1\; ;
\]
da ciò segue che una scelta ragionevole per l’esponente $a$ può essere quella fatta in modo che $a*n=1$, ossia $a=1/n$.


P.S.: Le calcolatrici lasciale stare: faranno sempre cose strane se non si inseriscono gli input e/o non si leggono gli output con criterio.

Esempio che ho invitato i miei studenti a riprodurre: calcola $sqrt(2), sqrt(sqrt(2)), sqrt(sqrt(sqrt(2))), …$ fino ad arrivare a:
\[
\underbrace{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{2}}}}_{45 \text{ radici}} \; .
\]
Il risultato a display sarà (molto probabilmente) $1$.
Ma è corretto?

Beh, no, nemmeno per idea!
Infatti, visto che $2>1$ hai $sqrt(2) > 1$ e quindi pure $sqrt(sqrt(2)) > 1$ ed anche $sqrt(sqrt(sqrt(2))) > 1$… e così via, fino a \(\underbrace{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{2}}}}_{45 \text{ radici}} >1\).

Come puoi benissimo immaginare, la causa dell’errore è l’arrotondamento che ogni mezzo di calcolo elettronico compie.

Morale della favola: bisogna conoscere la teoria anche per usare correttamente una calcolatrice.