Domanda sul limite notevole

[Ste.M]

Ciao. Ho trovato su questo sito un test sui limiti notevoli. L'unico quesito che ho sbagliato (anche se ci son arrivato per intuito) è il seguente:

Calcolare [tex]$\lim_{x\to0} \frac{sinx^3}{(sinx)^3}$[/tex]

Suppongo che sia utile utilizzare il limite notevole [tex]$\lim_{x\to0} \frac{sinx}{x}=1$[/tex]

Il problema è... come lo applico?

Potreste gentilmente chiarirmi le idee? Grazie!

[gugo82]

Visto che vale la regola del prodotto:

[tex]$\lim_{x\to 0} f(x)=a,\ \lim_{x\to 0} g(x)=b,\ \lim_{x\to 0} h(x)=c\ \Rightarrow\ \lim_{x\to 0} f(x)g(x)h(x)=abc$[/tex],

(s'intende che [tex]$a,b,c$[/tex] sono numeri reali) hai:

[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1\ \Rightarrow\ \lim_{x\to 0} \frac{\sin^3 x}{x^3} =\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\ \frac{\sin x}{x}\ \frac{\sin x}{x} =1$[/tex];

d'altra parte, introducendo la variabile ausiliaria [tex]$y=x^3$[/tex] e notando che [tex]$y\to 0$[/tex] quando [tex]$x\to 0$[/tex], hai pure:

[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x^3}{x^3} \stackrel{y=x^3}{=} \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} =1$[/tex].

Notato ciò, puoi risolvere il limite assegnato: infatti, moltiplicando e dividendo per [tex]$x^3$[/tex] trovi:

[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x^3}{\sin^3 x} =\lim_{x\to 0} \frac{\sin x^3}{x^3}\ \frac{x^3}{\sin^3 x} =\lim_{x\to 0} \frac{\sin x^3}{x^3}\ \frac{1}{\frac{\sin^3 x}{x^3}} =1\cdot \frac{1}{1}=1$[/tex].

[Ste.M]

Grazie, gentilissimo!