Domanda sui radicali
Il testo della domanda(dal libro):
Dire sotto quali condizioni è esatta la seguente eguaglianza:
`sqrt(4a^2b)=2asqrtb`.
Io ho risposto `a>=0` in quanto `sqrt(4a^2b)>=0;sqrtb>=0`
Ho un dubbio sul pamametro `b`.Secondo me non deve essere necessariamente `b>=0` in quanto l'eguaglianza rimarebbe esatta in campo non reale,ma comunque esatta.
Che ne pensate?
Grazie.
Dire sotto quali condizioni è esatta la seguente eguaglianza:
`sqrt(4a^2b)=2asqrtb`.
Io ho risposto `a>=0` in quanto `sqrt(4a^2b)>=0;sqrtb>=0`
Ho un dubbio sul pamametro `b`.Secondo me non deve essere necessariamente `b>=0` in quanto l'eguaglianza rimarebbe esatta in campo non reale,ma comunque esatta.
Che ne pensate?
Grazie.
Risposte
Deve essere:
${(4a^2b>=0),(b>=0):}
${(4a^2b>=0),(b>=0):}
Se al secondo membro si porta sotto radice 4a si ricostrisce lo stesso radicale del primo membro. Poichè 4 e $a^2$ sono sempre positivi per l'esistenza della radice basta porre solamente $b>=0$
L'esercizio però non chiede che la radice debba esistere in campo reale ma solamente che l'eguaglianza sia verificata.
Se fosse `b>=0` e `a<=0` ad esempio `a=-4`avremmo:
`sqrt(4a^2b)=2asqrtb hArr sqrt(4*(-4)^2*b)=2*(-4)*sqrtb hArrsqrt(64b)=-8*sqrtbhArr 8sqrtb=-8sqrtb` che è un assurdo
Quindi per `b>=0` e `a<=0` l'eguaglianza non è verificata.
EDIT:Credo che il punto sia che `sqrt(4a^2)=2a` solo se `a>=0`
Se fosse `b>=0` e `a<=0` ad esempio `a=-4`avremmo:
`sqrt(4a^2b)=2asqrtb hArr sqrt(4*(-4)^2*b)=2*(-4)*sqrtb hArrsqrt(64b)=-8*sqrtbhArr 8sqrtb=-8sqrtb` che è un assurdo
Quindi per `b>=0` e `a<=0` l'eguaglianza non è verificata.
EDIT:Credo che il punto sia che `sqrt(4a^2)=2a` solo se `a>=0`
$\exists \sqrt{4a^{2}b} \iff 4a^{2}b>=0 \iff b>=0$
$\sqrt{4a^{2}b}=2|a|\sqrt{b}$
$2|a|\sqrt{b}=2a\sqrt{b} \iff a>=0$
$\sqrt{4a^{2}b}=2|a|\sqrt{b}$
$2|a|\sqrt{b}=2a\sqrt{b} \iff a>=0$
"WiZaRd":
$\exists \sqrt{4a^{2}b} \iff 4a^{2}b>=0 \iff b>=0$
$\sqrt{4a^{2}b}=2|a|\sqrt{b}$
$2|a|\sqrt{b}=2a\sqrt{b} \iff a>=0$
Quindi la risposta è `a>=0` e `b>=0` affinchè l'uguaglianza `sqrt(4a^2b)=2asqrtb` sia verificata?
Scusate se sono palloso.
Se `a>=0` e `b<0` avremmo
`sqrt(4a^2b)=2asqrtbhArr2asqrtb=2asqrtb` che è vera nel campo complesso
Se `a>=0` e `b<0` avremmo
`sqrt(4a^2b)=2asqrtbhArr2asqrtb=2asqrtb` che è vera nel campo complesso
Se stiamo nel campo reale la risposta è quella che ti ho dato. Se andiamo in $CC$ non ci sono problemi.
"vanpic":Non so, se $b=0$ che succede?
Quindi la risposta è `a>=0` e `b>=0` affinchè l'uguaglianza `sqrt(4a^2b)=2asqrtb` sia verificata?
Se $a,b$ sono complessi non puoi passare da $sqrt(4 a^2 b)=2a sqrt(b)$ a $2a sqrt(b) = 2a sqrt(b)$. Per esempio se metti $a=-1$ hai casini.
In realtà nel campo complesso il simbolo di radice non è ben definito, perché non mi risulta che ci sia un modo canonico di scegliere una delle due radici quadrate di un numero complesso. Secondo me è sottinteso che $a,b$ sono da considerarsi reali.
Lavoriamo in $RR$.
Il radicale $\sqrt{4a^{2}b}$ ha senso sse $b>=0$: difatti il fatto che $a$ sia elevato a potenza pari ne rende ininfluente il segno.
Il radicale $2a\sqrt{b}$ ha senso sse $b>=0$.
Quindi la condizione $b>=0$ è implicitamente inclusa nell'esistenza in $RR$ dei due radicali.
Se il primo radicale esiste, esso è senz'altro uguale a $2|a|\sqrt{b}$ e quest'ultimo uguaglia il secondo radicale sse $a>=0$.
Quindi $b>=0$ per l'esistenza dei radicali, $a>=0$ per la loro uguaglianza.
Il radicale $\sqrt{4a^{2}b}$ ha senso sse $b>=0$: difatti il fatto che $a$ sia elevato a potenza pari ne rende ininfluente il segno.
Il radicale $2a\sqrt{b}$ ha senso sse $b>=0$.
Quindi la condizione $b>=0$ è implicitamente inclusa nell'esistenza in $RR$ dei due radicali.
Se il primo radicale esiste, esso è senz'altro uguale a $2|a|\sqrt{b}$ e quest'ultimo uguaglia il secondo radicale sse $a>=0$.
Quindi $b>=0$ per l'esistenza dei radicali, $a>=0$ per la loro uguaglianza.
Grazie a Wizard e agli altri.
Traggo la mia conclusione:
in `RR``:sqrt(4a^2b)=2asqrtb` è verificata se `a>=0` e `b>=0`
Traggo la mia conclusione:
in `RR``:sqrt(4a^2b)=2asqrtb` è verificata se `a>=0` e `b>=0`
"WiZaRd":Dimentichi il caso $b=0$.
Se il primo radicale esiste, esso è senz'altro uguale a $2|a|\sqrt{b}$ e quest'ultimo uguaglia il secondo radicale sse $a>=0$.
"vanpic":No è sbagliato. Quando $b$ si annulla $a$ può assumere qualsiasi valore. Devi quindi aggiungere le seguenti soluzioni:
Traggo la mia conclusione:
in `RR``:sqrt(4a^2b)=2asqrtb` è verificata se `a>=0` e `b>=0`
$b=0$, $a$ qualunque.
"Martino":
Quando $b$ si annulla $a$ può assumere qualsiasi valore. Devi quindi aggiungere le seguenti soluzioni:
$b=0$, $a$ qualunque.
Ok
"Martino":
Dimentichi il caso $b=0$.
Giustamente
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