Domanda sui polinomi e sulla proprietà invariantiva della divisione

[vanessa15]

1) Un polinomio di terzo grado omogeneo in tre lettere e completo rispetto a ciascuna di esse , quanti termini ha??

2) In quanti modi si può applicare la proprietà invariantiva alla divisione 84:24 dividendo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da 1 e dal divisore?

[Max 2433/BO]

1) Intendi questo di polinomio (cioè, ad esempio, il risultato di

[math] (a+b+c)^3 [/math]

):

[math] a^3 +b^3 +c^3 +3a^2b +3a^2c +3ab^2 +3b^2c +3ac^2 +3bc^2 +6abc [/math]

2) La proprietà invariantiva della divisione dice che dividendo (nel tuo caso, ma anche moltiplicando) entrambi i termini di una divisione per uno stesso numero diverso da 0, il risultato della divisone non cambia e l'eventuale resto viene diviso (o moltiplicato) per il numero scelto.

Nel tuo caso, volendo mantenere il quoziente delle varie divisioni intero, questa proprietà si poterà applicare tante volte quanti sono i divisori comuni dei due numeri dati.

Quindi, innanzi tutto scomponiamo i due numeri:

[math] 84\;=\;2^2\;.\;3\;.\;7 [/math]

[math] 24\;=\;2^3\;.\;3 [/math]

i divisori comuni sono quindi

[math] 2^2 \;,\;3 [/math]

quindi l'operazione di cui sopra si potrà eseguire per:

[math] 2^2 \;,\; 3 \;,\; 2^2\;.\;3 [/math]

dando i seguenti risultati:

[math] \frac {84:4}{24:4} \;=\; \frac {21}{6} [/math]

[math] \frac {84:3}{24:3} \;=\; \frac {28}{8} [/math]

[math] \frac {84:12}{24:12} \;=\; \frac {7}{2} [/math]

... fatto.

:hi

Massimiliano

[bimbozza]

la 1) è sbagliata max...
il polinomio cercato è

[math]x^3+y^3+z^3+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+xyz+xy+xz+yz+x+y+z+c[/math]

dove c è un termine noto qualsiasi, quindi la risposta al quesito è 17.