Domanda sugli integrali , si o no... xD

[abcde123451]

$int(cosxsen2x dx)$

$sen2x$=$2senxcosx$ ---> $int(2senxcos^2x)$ e mi viene $int(2senx(1/3cos^3x)$

Il risultato è $-(2/3)cos^3x+c$ perchè per applicare l'int di una potenza essa deve essere moltiplicata per la sua derivata e poi nel risultato la derivata non si considera?

[minomic]

Quando sei a $$
\int 2\sin x \cos^2 x\ dx
$$ lo devi vedere come $$
-2\int -\sin x \cos^2 x\ dx.
$$ A questo punto noti che $-\sin x$ è la derivata di $\cos x$ e concludi che il risultato è $$
-2 \frac{\cos^3 x}{3} + C = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C.
$$

[Zero87]

"abcde12345":perchè per applicare l'int di una potenza essa deve essere moltiplicata per la sua derivata e poi nel risultato la derivata non si considera?

Pensa all'integrale come l'operazione inversa della derivata (ci sarebbe da fare qualche puntualizzazione, però sta bene così!) e alla regola della funzione composta.

$D(f^n (x))= n f^(n-1)(x) f'(x)$
per la regola di derivazione della funzione composta.

Quando fai il passo inverso, dunque, cioè risalire alla primitiva, la derivata ti è necessaria perché la primitiva è una funzione composta e quando la derivi - come detto - compare anche la derivata della funzione.