Domanda sugli integrali
Esistono delle tecniche per riconoscere a priori un integrale irrisolvibile, o almeno, alcuni tipi?
Risposte
Bè, se la funzione integranda non è continua allora l'integrale non è risolvibile.
Non è mica vero... Ad esempio la funzione $f: [-1,1] \to \mathbb{R}$, definita da $f(x) = 0$ se $-1 \le x < 0$ e $f(x) = 1$ se $0 \le x \le 1$ è integrabile in $[-1,1]$ e vale $\int_{-1}^1 f(x) dx = 1$. Forse però Benny chiedeva di funzioni che non ammettono una primitiva esprimibile in forma elementare, come le gaussiane, o sbaglio?
Si', nel senso...quando i metodi canonici non funzionano (parti, sostituzione, ecc.) come procedo? Posso sapere a priori se le procedure pirma citate non avranno successo? Dimmi pure delle gaussiane..
Quando hai integrali la cui funzione integranda non ammette primitiva esprimibile in forma elementare, come ad esempio $e^{-x^2}$, $\frac{\sin(x)}{x}$, o altre ancora, si può risolverli o ricorrendo a delle furbate (come nel caso di $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$, di cui si considera il quadrato, si spezza sfruttando Fubini-Tonelli, etc.), o scomodando strumenti più potenti, come ad esempio la trasformata di Fourier, di Laplace, o altri risultati dell'Analisi Complessa, di cui io sono a digiuno. Se questi tentativi dovessero sfumare si può sempre ricorrere ad un'approssimazione numerica, un modo potrebbe essere l'integrazione per serie.
Bene, a occhio e croce il prossimo anno di studi portera' consiglio in merito. Volevo sapere se ci fossero dei criteri per riconoscere ad occhio il metodo da utilizzare, ma vista la mia scarsa padronanza con questi strumenti, mi sembrerebbe una domanda fuori luogo. La rimando, eventualmente, ai prossimi mesi. Grazie 1000 comunque.
Riporto dagli appunti del prof. Verri (Polimi) una spiegazione che a me sembra semplice, chiara e abbastanza completa sull'argomento in oggetto .
Si dicono funzioni elementari quelle funzioni che si ottengono combinando le funzioni fondamentali ( costante, $x, sinx, cosx ,e^x$) con un numero finito di operazioni ( sia algebriche che di composizione o inversione) .E' ovvio che una funzione elementare può anche essere molto complicata : il concetto di funzione elementare non va confuso con quello intuitivo di " funzione facile " .E' pure chiaro che se una funzione elementare è derivabile in un intervallo , la sua derivata è ancora elementare .
Per quanto riguarda le primitive di una funzione elementare $ f $ continua su un dato intervallo , si possono verificare due casi :
a) $f$ ammette primitive elementari o come si dice spesso è integrabile elementarmente .
Rientrano in questa categoria le funzioni con integrale immediato, le funzioni razionali ed alcuni altre classi ( poche ) di funzioni, e inoltre tutte quelle funzioni il cui integrale si riconduce ai precedenti con sostituzioni "elementari".
b) $f $ non ammette primitive elementari , cioè non è integrabile elementarmente. Esempi di questo tipo sono :
$e^(lambdax^2) ; e^(lambdax)/x $con $lambda ne 0 $ ; $sinx/x ; cosx/x; 1/(lnx) ; sin(x^2) ; cos(x^2) $.
e quelle il cui integrale si riconduce ai precedenti .Si noti che queste funzioni ammettono intervalli di continuità in cui sono dotate di primitive , ma è stato dimostrato che queste primitive non sono rappresentabili come funzioni elementari.Tali primitive ammettono altre rappresentazioni, tra cui la rappresentazione integrale (cioè come funzione integrale), e alcune di esse sono talmnete usate che hanno un nome e un simbolo speciali. E' questo il caso , ad esempio, della "funzione degli errori" ( di Gauss) :
$erf(x)=(2/sqrt(pi)) int_0^x e^(-t^2)dt, x in RR $
che trova largo uso in probabilità e statistica .Le funzioni integrali non elementari si possono studiare e disegnare come quelle elementari, e tabulare valutando numericamente l'integrale.
Si dicono funzioni elementari quelle funzioni che si ottengono combinando le funzioni fondamentali ( costante, $x, sinx, cosx ,e^x$) con un numero finito di operazioni ( sia algebriche che di composizione o inversione) .E' ovvio che una funzione elementare può anche essere molto complicata : il concetto di funzione elementare non va confuso con quello intuitivo di " funzione facile " .E' pure chiaro che se una funzione elementare è derivabile in un intervallo , la sua derivata è ancora elementare .
Per quanto riguarda le primitive di una funzione elementare $ f $ continua su un dato intervallo , si possono verificare due casi :
a) $f$ ammette primitive elementari o come si dice spesso è integrabile elementarmente .
Rientrano in questa categoria le funzioni con integrale immediato, le funzioni razionali ed alcuni altre classi ( poche ) di funzioni, e inoltre tutte quelle funzioni il cui integrale si riconduce ai precedenti con sostituzioni "elementari".
b) $f $ non ammette primitive elementari , cioè non è integrabile elementarmente. Esempi di questo tipo sono :
$e^(lambdax^2) ; e^(lambdax)/x $con $lambda ne 0 $ ; $sinx/x ; cosx/x; 1/(lnx) ; sin(x^2) ; cos(x^2) $.
e quelle il cui integrale si riconduce ai precedenti .Si noti che queste funzioni ammettono intervalli di continuità in cui sono dotate di primitive , ma è stato dimostrato che queste primitive non sono rappresentabili come funzioni elementari.Tali primitive ammettono altre rappresentazioni, tra cui la rappresentazione integrale (cioè come funzione integrale), e alcune di esse sono talmnete usate che hanno un nome e un simbolo speciali. E' questo il caso , ad esempio, della "funzione degli errori" ( di Gauss) :
$erf(x)=(2/sqrt(pi)) int_0^x e^(-t^2)dt, x in RR $
che trova largo uso in probabilità e statistica .Le funzioni integrali non elementari si possono studiare e disegnare come quelle elementari, e tabulare valutando numericamente l'integrale.
Sei stato chiarissimo Camillo, grazie ancora.
Sfrutto questo topic, per fare una domanda a riguardo che mi sembra pertinente.
Vorrei sapere se qualcuno di voi conosce qualche testo che tratti l'argomento, perché io non sono mai riuscito a trovare nemmeno mezza dimostrazione riguardo al fatto che la primitiva di alcune funzioni elementari non sia una funzione elementare.
O se non esiste alcun testo, vorrei sapere dove posso leggere almeno una dimostrazione anche di una sola funzione per la quale "hanno dimostrato" che la sua primitiva non è una funzione elementare.
Vorrei sapere se qualcuno di voi conosce qualche testo che tratti l'argomento, perché io non sono mai riuscito a trovare nemmeno mezza dimostrazione riguardo al fatto che la primitiva di alcune funzioni elementari non sia una funzione elementare.
O se non esiste alcun testo, vorrei sapere dove posso leggere almeno una dimostrazione anche di una sola funzione per la quale "hanno dimostrato" che la sua primitiva non è una funzione elementare.
Mi sa che per queste cose devi mirare più in alto dell'area della scuola secondaria. Potresti chiedere in Analisi, magari aprendo una discussione tutta tua, senza riesumare vecchi post.
Ah scusa pensavo fosse la sezione di Analisi. 
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