Domanda su uno studio di una funzione
Non ho ben capito un passaggio per lo studio di una funzione...
Quando bisogna verificare se ci sono dei punti speciali (avendo la derivata di una funzione), bisogna calcolare
il limite dei valori critici della derivata oppure il limite degli zeri della funzione?
Grazie!
Quando bisogna verificare se ci sono dei punti speciali (avendo la derivata di una funzione), bisogna calcolare
il limite dei valori critici della derivata oppure il limite degli zeri della funzione?
Grazie!
Risposte
La tua domanda è tutt'altro che chiara; per quanto ne capisco, ti dico che gli zeri di una funzione non hanno alcun collegamento con la derivata. Ovvio, a meno che in essi avvenga anche qualcosa di diverso dal semplice azzerarsi della funzione.
Per la derivabilità sono invece punti speciali:
- i punti in cui la funzione cambia definizione, come avviene con i valori assoluti;
- i punti in cui la funzione esiste e la derivata no, di solito perché tende ad infinito;
- i punti in cui la derivata si annulla, in cui può esserci massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale.
Spero di non averne dimenticati altri e che la tua domanda fosse veramente questa.
Per la derivabilità sono invece punti speciali:
- i punti in cui la funzione cambia definizione, come avviene con i valori assoluti;
- i punti in cui la funzione esiste e la derivata no, di solito perché tende ad infinito;
- i punti in cui la derivata si annulla, in cui può esserci massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale.
Spero di non averne dimenticati altri e che la tua domanda fosse veramente questa.
Ad esempio, per la funzione f(x) = $ root(3)(x^2(2-x) $
gli zeri di f(x) sono x=0 e x=2, ponendo f(x)=0.
Calcolando la derivata si trova f'(x) = $ [x(4-3x)] /3root(3)((2x^2-x^3))^2 $
(la radice è sotto il fratto e il quadrato eleva la parentesi sotto la radice).
Per calcolare i punti speciali io ho scritto che la funzione non è continua in x=0 e in x=2, e da lì
si ottiene una cuspide (0,0) e un flesso verticale discendente (2,0)...
Quindi mi chiedevo se non si dovessero guardare gli zeri dato che sono gli stessi valori...
gli zeri di f(x) sono x=0 e x=2, ponendo f(x)=0.
Calcolando la derivata si trova f'(x) = $ [x(4-3x)] /3root(3)((2x^2-x^3))^2 $
(la radice è sotto il fratto e il quadrato eleva la parentesi sotto la radice).
Per calcolare i punti speciali io ho scritto che la funzione non è continua in x=0 e in x=2, e da lì
si ottiene una cuspide (0,0) e un flesso verticale discendente (2,0)...
Quindi mi chiedevo se non si dovessero guardare gli zeri dato che sono gli stessi valori...
Comincio con qualche osservazione.
1) in $x=0$ e $x=2$ la funzione è continua ma non derivabile; se non fosse continua non avrebbe senso parlare di cuspidi e flessi a tangente verticale (a proposito dei quali hai ragione);
2) completa i calcoli:
$f'(x)=(x(4-3x))/(3root(3)(x^4(2-x)^2))=(x(4-3x))/(3xroot(3)(x(2-x)^2))=(4-3x)/(3root(3)(x(2-x)^2)$
3) metti fra parentesi le cose che vuoi che restino assieme: per mandare la radice a denominatore dovevi scrivere fra parentesi l'intero denominatore e per avere il quadrato sotto alla radice dovevi scrivere root(3)((2x^2-x^3)^2)
Quanto alla tua domanda, negli esercizi capita abbastanza speso perché questo permette calcoli più facili. Se però, ad esempio, modificassi la tua funzione in
$f(x)=root(3)(x^2(2-x))+4$
la derivata non cambierebbe e quindi ne trarresti le stesse conclusioni; avresti però una cuspide in $(0,4)$ ed un flesso a tangente verticale in $(2,4)$ mentre non succederebbe niente di strano nelle intersezioni con l'asse $x$ (ammesso che ce ne siano; ho messo il $+4$ a casaccio).
1) in $x=0$ e $x=2$ la funzione è continua ma non derivabile; se non fosse continua non avrebbe senso parlare di cuspidi e flessi a tangente verticale (a proposito dei quali hai ragione);
2) completa i calcoli:
$f'(x)=(x(4-3x))/(3root(3)(x^4(2-x)^2))=(x(4-3x))/(3xroot(3)(x(2-x)^2))=(4-3x)/(3root(3)(x(2-x)^2)$
3) metti fra parentesi le cose che vuoi che restino assieme: per mandare la radice a denominatore dovevi scrivere fra parentesi l'intero denominatore e per avere il quadrato sotto alla radice dovevi scrivere root(3)((2x^2-x^3)^2)
Quanto alla tua domanda, negli esercizi capita abbastanza speso perché questo permette calcoli più facili. Se però, ad esempio, modificassi la tua funzione in
$f(x)=root(3)(x^2(2-x))+4$
la derivata non cambierebbe e quindi ne trarresti le stesse conclusioni; avresti però una cuspide in $(0,4)$ ed un flesso a tangente verticale in $(2,4)$ mentre non succederebbe niente di strano nelle intersezioni con l'asse $x$ (ammesso che ce ne siano; ho messo il $+4$ a casaccio).
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