Domanda su una dimostrazione.
Buona sera a tutti, ci è stato assegnato questo esercizio: dovrei verificare se $root3(4)$ è irrazionale o meno. Utilizzando la dimostrazione classica, ragionando per assurdo, sembrerebbe che il numero non appartenga ai numeri razionali. Parto sempre da $p/q=root3(4)$ dove la frazione è irriducibile; elevando alla terza si ha $p^3/q^3=4$ da cui $p^3=4q^3$ dunque $p^3$ è multiplo di $4$ e quindi lo sarà anche $p$ ed esisterà dunque un $k$ tale che $p=4k$.Procedendo col ragionamento si arriva tranquillamente alla soluzione; eppure c'è qualcosa che non mi torna...
Grazie a tutti per l'aiuto.
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
Allora supponendo per assurdo che esistano due interi $p$ e $q$ con $q!=0$ tali che
\(\displaystyle \frac{{p}}{{q}}={\sqrt[{3}]{{{4}}}}\)
allora: \(\displaystyle {{p}}^{{3}}={4}{{q}}^{{3}}\). Ora $p^3$ affinchè l'uguaglianza sia verificata $p^3$ deve essere multiplo di $4$. Quindi necessariamente $p$ deve essere multiplo di $2$. Per cui poni $p=2p_1$
Ottenendo:
\(\displaystyle {{8p_1}}^{{3}}={4}{{q}}^{{3}}\) da cui $2p_1^3 = q^3$
Ora per motivi analoghi $q^3$ deve essere multiplo di $2$ e quindi $q=2q_1$.
Sostituendo: $2p_1^3 = 8q_1^3$ da cui: $p_1^3 = 4q_1^3$.
Si torna alla situazione iniziale e se si continuasse si tornerebbe sempre a quel punto. Quindi $p$ e $q$ andrebbero divisi infinite volte per $2$ ma essendo interi l'unica possibilità è che siano entrambi $0$. Ma ciò è assurdo.
\(\displaystyle \frac{{p}}{{q}}={\sqrt[{3}]{{{4}}}}\)
allora: \(\displaystyle {{p}}^{{3}}={4}{{q}}^{{3}}\). Ora $p^3$ affinchè l'uguaglianza sia verificata $p^3$ deve essere multiplo di $4$. Quindi necessariamente $p$ deve essere multiplo di $2$. Per cui poni $p=2p_1$
Ottenendo:
\(\displaystyle {{8p_1}}^{{3}}={4}{{q}}^{{3}}\) da cui $2p_1^3 = q^3$
Ora per motivi analoghi $q^3$ deve essere multiplo di $2$ e quindi $q=2q_1$.
Sostituendo: $2p_1^3 = 8q_1^3$ da cui: $p_1^3 = 4q_1^3$.
Si torna alla situazione iniziale e se si continuasse si tornerebbe sempre a quel punto. Quindi $p$ e $q$ andrebbero divisi infinite volte per $2$ ma essendo interi l'unica possibilità è che siano entrambi $0$. Ma ciò è assurdo.
Per cui si dimostra che il numero è irrazionale.Non ho capito bene la parte finale (si divide all'infinito per 2..., sarebbe valido solo se i numeri fossero entrambi 0...)
Il ragionamento per come l'avevo impostato andava bene? Grazie mille dell'aiuto
Il ragionamento per come l'avevo impostato andava bene? Grazie mille dell'aiuto
La parte finale:
Continuando a fare quelle sostituzioni andando avanti fino all'infinito tornerai sempre nel punto di partenza ottenendo:
$p=2p_1$
$p_1 = 2p_2$
$p_3 = 2p_2$
...
questo implica $p=2^kp_k$
ma $k$ diventarà gigantesco! E siccome quel ciclo di sostituzioni non finirà mai sarà pure infinito.
Quindi $p$ deve contenere infinite volte il fattore $2$. E qual è l'unico numero intero che è divisibile infinite volte per $2$?
Per come l'avevi impostato tu:
"$p^3$ è multiplo di $4$ e quindi lo sarà anche $p$"
questa parte è sbagliata. Affinchè $p^3$ sia multiplo di $4$ è necessario che $p$ sia multiplo di $2$. $p$ non è necessariamente multiplo di $4$.
Continuando a fare quelle sostituzioni andando avanti fino all'infinito tornerai sempre nel punto di partenza ottenendo:
$p=2p_1$
$p_1 = 2p_2$
$p_3 = 2p_2$
...
questo implica $p=2^kp_k$
ma $k$ diventarà gigantesco! E siccome quel ciclo di sostituzioni non finirà mai sarà pure infinito.
Quindi $p$ deve contenere infinite volte il fattore $2$. E qual è l'unico numero intero che è divisibile infinite volte per $2$?
Per come l'avevi impostato tu:
"$p^3$ è multiplo di $4$ e quindi lo sarà anche $p$"
questa parte è sbagliata. Affinchè $p^3$ sia multiplo di $4$ è necessario che $p$ sia multiplo di $2$. $p$ non è necessariamente multiplo di $4$.
La parte finale del ragionamento di xXStephXx può essere modificata introducendo fin dall'inizio l'ipotesi che la frazione $p/q$ sia ridotta ai minimi termini, cioè che $p$ e $q$ non abbiano divisori comuni. Si dimostra poi che questo è impossibile perché entrambi sono divisibili per 2 .
E il fatto che p sia multiplo di 2 è una condizione sufficiente affinché $p^3$ sia multiplo di 4?
Anche di 8. Il fattore 2 viene elevato alla terza.
Piccola cosa per rendersi conto visivamente di ciò.
$2$ multiplo di $p$ significa che $2|p$ (si legge 2 divide p )
Ciò vuol dire che $p=2q$ dove $q$ è un intero
da cui $p^2=4q^2$ , $p^3=8q^3$.. e così via.. cioè 4 è multiplo di $p^2$, 8 di $p^3$....
$2$ multiplo di $p$ significa che $2|p$ (si legge 2 divide p )
Ciò vuol dire che $p=2q$ dove $q$ è un intero
da cui $p^2=4q^2$ , $p^3=8q^3$.. e così via.. cioè 4 è multiplo di $p^2$, 8 di $p^3$....
Provo a verificare se ho capito dimostrando lo stesso per $sqrt3$. L'ipotesi è sempre la stessa; ho due numeri $p$ e $q$ tali che $p/q=sqrt3$ allora $p^2=3q^2$ sempre con la condizione $q!=0$. Affinché $p^2$ sia multiplo di 3 è necessario che $p=3p_1$ e sostituendo nella prima sarà $9(p_1)^2=3q^2$ e quindi $3(p_1)^2=q^2$. Ma allora affinché la relazione sia verificata è necessario che $q=3q_1$; di conseguenza avremo $3(p_1)^2=9(q_1)^2$ si ritorna quindi punto da capo. Ma così andiamo incontro all'ipotesi che affermava che la frazione era irriducibile. Allora il numero è irrazionale.
Penso di aver afferrato il meccanismo; ma non capisco perché bisogna fare tutte quelle sostituzioni per dimostrare l'irrazionalità del numero. Spero di essermi spiegato bene. Grazie a tutti dell'aiuto
Penso di aver afferrato il meccanismo; ma non capisco perché bisogna fare tutte quelle sostituzioni per dimostrare l'irrazionalità del numero. Spero di essermi spiegato bene. Grazie a tutti dell'aiuto
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