Domanda su integrale indefinito e derivate
Un informazione per favore.
Sto provando a terminare il diploma e mi ritrovo con lo stesso problema di anni fa:integrali e derivate,non riesco a capirne i concetti,ne sui libri ne altrove.
Esempio di una cosa che non capisco.
Ho letto che la derivata e' la pendenza della tangente di un determinato punto di una funzione.
Invece su wikipedia leggo
Non ho capito niente,se la derivata e' la pendenza della tangente di un determinato punto di una funzione,
come fa ad essere uguale ad una funzione?Inoltre si parla anche di piu' funzioni.Non capisco.
Gentilmente qualcuno potrebbe indicarmi dove trovare la spiegazione di cosa sono integrali e derivate,il collegamento tra le due cose,
in italiano semplice assieme a dei disegni?Vorrei evitare il linguaggio matematico o comunque quel linguaggio tipico dei libri di matematica.
Sto provando a terminare il diploma e mi ritrovo con lo stesso problema di anni fa:integrali e derivate,non riesco a capirne i concetti,ne sui libri ne altrove.
Esempio di una cosa che non capisco.
Ho letto che la derivata e' la pendenza della tangente di un determinato punto di una funzione.
Invece su wikipedia leggo
http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale# ... indefinito
"ll problema inverso a quello della derivazione
consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata"
Non ho capito niente,se la derivata e' la pendenza della tangente di un determinato punto di una funzione,
come fa ad essere uguale ad una funzione?Inoltre si parla anche di piu' funzioni.Non capisco.
Gentilmente qualcuno potrebbe indicarmi dove trovare la spiegazione di cosa sono integrali e derivate,il collegamento tra le due cose,
in italiano semplice assieme a dei disegni?Vorrei evitare il linguaggio matematico o comunque quel linguaggio tipico dei libri di matematica.
Risposte
Innanzitutto benvenuto sul forum e buona permanenza.
Permettimi di dire che trovo la tua domanda alquanto contorta. Dire che la derivata è la pendeza della retta tangente al grafico di una funzione in un punto dello stesso non è la definizione di derivata ma è l'interpretazione geometrica della derivata. Questa interpretazione geometrica è esattamente quello che tu richiedi come spiegazione del concetto di derivata che sia in italiano semplice, corredata di disegni e scevra del tecnicismo del linguaggio matematico. Va da se che, se vuoi una definizione del genere, credo che difficilmente riuscirai a cogliere il nesso tra integrazione e derivazione, non per qualche motivo oscuro e particolare, ma perché credo che difficilmente si possa parlare di qualche cosa senza sapere che cosa questo qualche cosa sia.
Permettimi di dire che trovo la tua domanda alquanto contorta. Dire che la derivata è la pendeza della retta tangente al grafico di una funzione in un punto dello stesso non è la definizione di derivata ma è l'interpretazione geometrica della derivata. Questa interpretazione geometrica è esattamente quello che tu richiedi come spiegazione del concetto di derivata che sia in italiano semplice, corredata di disegni e scevra del tecnicismo del linguaggio matematico. Va da se che, se vuoi una definizione del genere, credo che difficilmente riuscirai a cogliere il nesso tra integrazione e derivazione, non per qualche motivo oscuro e particolare, ma perché credo che difficilmente si possa parlare di qualche cosa senza sapere che cosa questo qualche cosa sia.
Quindi questa spiegazione che capisco a malapena e' anche gia' la spiegazione piu' semplice che posso avere,quindi la mia domanda non ha senso.
Ho letto che la derivata indica l'andamento di una funzione.Ho letto male?Ma allora se indica l'andamento di tutta la funzione perche' si calcola in un punto?
quelle tangenti che vedo non mi sembra indichino l'andamento di tutta la funzione,perche' poi la curva cambia bruscamente.
Questo me lopuoi spiegare,eventualmente con un po' di matematica?
Pensate di non potermi aiutare con linguaggio semplice?
Io di solito mi facevo spiegare dal professore in linguaggio normale,poi allora iniziavo a capire il libro.Infatti sono rimasto indietro.
Ho letto che la derivata indica l'andamento di una funzione.Ho letto male?Ma allora se indica l'andamento di tutta la funzione perche' si calcola in un punto?
quelle tangenti che vedo non mi sembra indichino l'andamento di tutta la funzione,perche' poi la curva cambia bruscamente.
Questo me lopuoi spiegare,eventualmente con un po' di matematica?
Pensate di non potermi aiutare con linguaggio semplice?
Io di solito mi facevo spiegare dal professore in linguaggio normale,poi allora iniziavo a capire il libro.Infatti sono rimasto indietro.
La derivata indica l'andamento delle funzione perché esistono dei teoremi che legano la "forma" del grafico della funzione al segno della derivata.
La derivata si calcola in un punto perché è il limite del rapporto incrementale della funzione relativo a quel punto. Se visualizzi il rapporto incrementale sul grafico ti rendi conto che esso è geometricamente interpretabile come una retta secante il grafico della funzione e passante per il punto in cui calcoli la derivata. Se fai il limite del rapporto incrementale portando a 0 l'incremento vedi che queste secanti si avvicinano alla tangente nel punto in cui calcoli la derivata.
Questa è grossomodo l'idea intuitiva e geometrica della derivata. Ma per potere capire il nesso tra integrazione e derivazione occorre partire dalla vera definizione di derivata. Quindi ti chiedo a che punto sei con la teoria. Conosci il concetto di limite?
La derivata si calcola in un punto perché è il limite del rapporto incrementale della funzione relativo a quel punto. Se visualizzi il rapporto incrementale sul grafico ti rendi conto che esso è geometricamente interpretabile come una retta secante il grafico della funzione e passante per il punto in cui calcoli la derivata. Se fai il limite del rapporto incrementale portando a 0 l'incremento vedi che queste secanti si avvicinano alla tangente nel punto in cui calcoli la derivata.
Questa è grossomodo l'idea intuitiva e geometrica della derivata. Ma per potere capire il nesso tra integrazione e derivazione occorre partire dalla vera definizione di derivata. Quindi ti chiedo a che punto sei con la teoria. Conosci il concetto di limite?
si,sempre se lo ho capito bene.E grazie che mi rispondi.
Allora siano[tex]f(\cdot)\colon\mathcal{I}\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] una funzione reale di variabile reale ed [tex]x_{0}\in\mathcal{I}[/tex]: chiamo rapporto incrementale relativo al punto [tex]x_{0}[/tex] la quantità [tex]\displaystyle\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex] per [tex]x\in\mathcal{I}\setminus\{x_{0}\}[/tex], dove [tex]x-x_{0}[/tex] rappresenta l'incremento della variabile [tex]x[/tex] ed [tex]f(x)-f(x_{0})[/tex] il corrispondente incremento della funzione.
Se [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex] esiste finito, i.e. è un numero reale, allora dico che la funzione [tex]f(\cdot)[/tex] è derivabile in [tex]x_{0}[/tex] e il precedente limite è la derivata di [tex]f(\cdot)[/tex] in [tex]x_{0}[/tex]. Indico questo fatto scrivendo [tex]\displaystyle f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex].
Se il limite di cui sopra non esiste la funzione non è derivabile, se esiste ma infinito si dice per abuso di linguaggio che la derivata in quel punto vale [tex]\pm\infty[/tex] a seconda di come viene il limite ma non dico che la funzione è derivabile.
È chiaro?
Se [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex] esiste finito, i.e. è un numero reale, allora dico che la funzione [tex]f(\cdot)[/tex] è derivabile in [tex]x_{0}[/tex] e il precedente limite è la derivata di [tex]f(\cdot)[/tex] in [tex]x_{0}[/tex]. Indico questo fatto scrivendo [tex]\displaystyle f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex].
Se il limite di cui sopra non esiste la funzione non è derivabile, se esiste ma infinito si dice per abuso di linguaggio che la derivata in quel punto vale [tex]\pm\infty[/tex] a seconda di come viene il limite ma non dico che la funzione è derivabile.
È chiaro?
questo si.
"Davide79":
Non ho capito niente,se la derivata e' la pendenza della tangente di un determinato punto di una funzione,
come fa ad essere uguale ad una funzione?Inoltre si parla anche di piu' funzioni.Non capisco.
Ciao Davide, mi soffermo su questo punto perché merita delucidazioni.
La derivata E' una funzione.
La derivata prima calcolata in un punto è un numero, che indica appunto la pendenza della tangente in quel punto.
Esempio: se ho [tex]$f(x)=x^2$[/tex].
La derivata prima è facilmente [tex]$f'(x)=2x$[/tex]. (se ti sei già visto qualche regola di derivazione, altrimenti la vedrai).
Questo significa che se voglio calcolare la derivata in un punto, metti $3$, basta sostituire all'espressione della derivata il valore $3$.
[tex]$f'(3)=2\cdot3=6$[/tex], che è un numero.
Insomma: la derivata è un funzione, è la LEGGE in generale, la quale ti permette di inserire il punto che ti serve e ti restituisci il valore della derivata.
Se sostituisci il numero particolare [tex]$x_0$[/tex] (prima era 3), ti esce un numero (prima era $6$).
Quanto al fatto "si parla di più funzioni", quello è un concetto sempre molto facile, ma prima dicci se fin qui è tutto chiaro o vuoi delucidazioni su altri punti.
Buono studio!
si sto proseguendo a capire,me la state mettendo chiara.
I libri hanno delle frasi che sono dei nodi da sciogliere con le formule in mezzo.
I libri hanno delle frasi che sono dei nodi da sciogliere con le formule in mezzo.
Bene. Come detto da Steven, il termine derivata è usato anche per indicare una determinata funzione. Se ti è ben chiaro quello che ti ha detto Steven, allora comprenderai la costruzione che porta ad ottenre questa funzione.
Data [tex]f(\cdot)\colon\mathcal{I}\to \mathbb{R}[/tex] sia [tex]x_{0} \in \mathcal{I}[/tex]: chiamo derivata sinistra di [tex]f(\cdot)[/tex] in [tex]x_{0}[/tex] il limite [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex] e chiamo derivata destra di [tex]f(\cdot)[/tex] in [tex]x_{0}[/tex] il limite [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex]. Con questa definizione si ha che una funzione è derivabile in un punto del suo dominio se e solo se la derivata sinistra e quella destra sono uguali: puoi infatti vedere il limite che ti fornisce la derivata come un limite globale del rapporto incrementale in quel punto ed allora se i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono uguali esiste il limite globale e viceversa.
Dati [tex]f(\cdot)\colon\mathcal{I}\to\mathbb{R}[/tex] ed un intervallo [tex][a;b]\subseteq\mathcal{I}[/tex], dico che [tex]f(\cdot)[/tex] è derivabile in [tex][a;b][/tex] se è derivabile in ogni punto di [tex]]a;b[[/tex] e se in [tex]a[/tex] ed in [tex]b[/tex] esistono rispettivamente la derivata destra e la derivata sinistra.
Sia [tex]X \subseteq \mathcal{I}[/tex]: chiamo funzione derivata e la indico con [tex]D(f)[/tex] la funzione [tex]D(f)(\cdot)\colon X \to \mathbb{R}[/tex] definita dalla legge [tex]D(f)(x)=f'(x), \forall x \in X[/tex], ove la derivata calcolata in [tex]x[/tex] si intende finita. In pratica la funzione derivata ti manda ogni punto di [tex]X[/tex] nella derivata della funzione [tex]f(\cdot)[/tex] calcolata in quel punto.
Come facciamo adesso a tirare fuori l'espressione della funzione derivata, cioè l'espressione da usare al posto di [tex]D(f)(x)[/tex] od al posto di [tex]f'(x)[/tex]? Supponiamo che il punto del dominio di [tex]f[/tex] in cui ci andiamo a calcolare la derivata sia un generico [tex]x[/tex]: difatti se io ho la funzione [tex]f(x)=2x+3[/tex] e ne voglio la derivata in [tex]x_{0}=4[/tex], allora mi costruisco il rapporto incrementale [tex]\displaystyle \frac{f(x)-f(4)}{x-4}=\frac{2x+3 -(2\cdot 4 +3)}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}[/tex], quindi passo al limite per [tex]x\to4[/tex] e vedo quanto viene; per trovare allora l'espressione che mi da la funzione derivata al posto di andare a mettere il valore di [tex]x_{0}[/tex] lascio le variabili e lavoro con esse: alcuni testi per semplificare effettuano la sostituzione [tex]h[/tex] al posto di [tex]x-x_{0}[/tex] sicché il rapporto incrementale diventa [tex]\displaystyle \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/tex] ed il limite si calcola per [tex]h \to 0[/tex] e, sfruttando questa sostituzione puoi pensare ad [tex]x_{0}[/tex] come ad un generico [tex]x[/tex], quello che tende a [tex]0[/tex] è [tex]h[/tex] e risolvendo il limite troverai, in generale, una espressione con dentro la [tex]x[/tex].
In questo modo si ottengono le regole di derivazione.
Chiaro?
Data [tex]f(\cdot)\colon\mathcal{I}\to \mathbb{R}[/tex] sia [tex]x_{0} \in \mathcal{I}[/tex]: chiamo derivata sinistra di [tex]f(\cdot)[/tex] in [tex]x_{0}[/tex] il limite [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex] e chiamo derivata destra di [tex]f(\cdot)[/tex] in [tex]x_{0}[/tex] il limite [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex]. Con questa definizione si ha che una funzione è derivabile in un punto del suo dominio se e solo se la derivata sinistra e quella destra sono uguali: puoi infatti vedere il limite che ti fornisce la derivata come un limite globale del rapporto incrementale in quel punto ed allora se i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono uguali esiste il limite globale e viceversa.
Dati [tex]f(\cdot)\colon\mathcal{I}\to\mathbb{R}[/tex] ed un intervallo [tex][a;b]\subseteq\mathcal{I}[/tex], dico che [tex]f(\cdot)[/tex] è derivabile in [tex][a;b][/tex] se è derivabile in ogni punto di [tex]]a;b[[/tex] e se in [tex]a[/tex] ed in [tex]b[/tex] esistono rispettivamente la derivata destra e la derivata sinistra.
Sia [tex]X \subseteq \mathcal{I}[/tex]: chiamo funzione derivata e la indico con [tex]D(f)[/tex] la funzione [tex]D(f)(\cdot)\colon X \to \mathbb{R}[/tex] definita dalla legge [tex]D(f)(x)=f'(x), \forall x \in X[/tex], ove la derivata calcolata in [tex]x[/tex] si intende finita. In pratica la funzione derivata ti manda ogni punto di [tex]X[/tex] nella derivata della funzione [tex]f(\cdot)[/tex] calcolata in quel punto.
Come facciamo adesso a tirare fuori l'espressione della funzione derivata, cioè l'espressione da usare al posto di [tex]D(f)(x)[/tex] od al posto di [tex]f'(x)[/tex]? Supponiamo che il punto del dominio di [tex]f[/tex] in cui ci andiamo a calcolare la derivata sia un generico [tex]x[/tex]: difatti se io ho la funzione [tex]f(x)=2x+3[/tex] e ne voglio la derivata in [tex]x_{0}=4[/tex], allora mi costruisco il rapporto incrementale [tex]\displaystyle \frac{f(x)-f(4)}{x-4}=\frac{2x+3 -(2\cdot 4 +3)}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}[/tex], quindi passo al limite per [tex]x\to4[/tex] e vedo quanto viene; per trovare allora l'espressione che mi da la funzione derivata al posto di andare a mettere il valore di [tex]x_{0}[/tex] lascio le variabili e lavoro con esse: alcuni testi per semplificare effettuano la sostituzione [tex]h[/tex] al posto di [tex]x-x_{0}[/tex] sicché il rapporto incrementale diventa [tex]\displaystyle \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/tex] ed il limite si calcola per [tex]h \to 0[/tex] e, sfruttando questa sostituzione puoi pensare ad [tex]x_{0}[/tex] come ad un generico [tex]x[/tex], quello che tende a [tex]0[/tex] è [tex]h[/tex] e risolvendo il limite troverai, in generale, una espressione con dentro la [tex]x[/tex].
In questo modo si ottengono le regole di derivazione.
Chiaro?
Grazie molte per la risposta super esauriente.
Allora,chiedo scusa,me la son rivista tutta una cosa mi e' sfuggita.
Ma l'altro punto x,da dove arriva?Io voglio sapere la tangente in un determinato punto,x0.
x cosa c'entra?
Allora,chiedo scusa,me la son rivista tutta una cosa mi e' sfuggita.
Ma l'altro punto x,da dove arriva?Io voglio sapere la tangente in un determinato punto,x0.
x cosa c'entra?
Se io ho una funzione [tex]f(x)[/tex] e voglio la derivata nel punto [tex]x_{0}[/tex] allora mi calcolo [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/tex]. Alcuni autori al posto di considerare [tex]x-x_{0}[/tex], considerano [tex]h=x-x_{0}[/tex], quindi al posto di [tex]f(x)[/tex] mettiamo [tex]f(x_{0}+h)[/tex] ed al posto di [tex]x \to x_{0}[/tex] mettiamo [tex]h \to 0[/tex], quindi per trovarmi la derivata in [tex]x_{0}[/tex] faccio [tex]\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/tex].
Esempio: voglio la derivata di [tex]f(x)=x+9[/tex] in [tex]x_{0}=13[/tex]. Allora devo fare [tex]\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(13+h)-f(13)}{h}[/tex] ed ovviamente mi viene fuori un numero (prova).
Adesso io voglio la funzione derivata: se io risparto da [tex]\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/tex] allora [tex]h[/tex] tende a [tex]0[/tex] ed in qualche modo "se ne va", quindi se io lascio [tex]x_{0}[/tex] che nelle nostre notazioni è un numero preciso preso dal dominio di [tex]f(\cdot)[/tex] alla fine ottengo di nuovo un numero, sicché la funzione come faccio a farla uscire? Allora al posto di [tex]x_{0}[/tex] ci piazzo [tex]x[/tex], che mi rappresenta un numero generale ed il limite che ottengo non è unnumero ma una espressione con [tex]x[/tex], ovvero una funzione di [tex]x[/tex], cioè ho reso la derivata una funzione di [tex]x[/tex].
Esempio: voglio la derivata di [tex]f(x)=x+9[/tex] in [tex]x_{0}=13[/tex]. Allora devo fare [tex]\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(13+h)-f(13)}{h}[/tex] ed ovviamente mi viene fuori un numero (prova).
Adesso io voglio la funzione derivata: se io risparto da [tex]\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/tex] allora [tex]h[/tex] tende a [tex]0[/tex] ed in qualche modo "se ne va", quindi se io lascio [tex]x_{0}[/tex] che nelle nostre notazioni è un numero preciso preso dal dominio di [tex]f(\cdot)[/tex] alla fine ottengo di nuovo un numero, sicché la funzione come faccio a farla uscire? Allora al posto di [tex]x_{0}[/tex] ci piazzo [tex]x[/tex], che mi rappresenta un numero generale ed il limite che ottengo non è unnumero ma una espressione con [tex]x[/tex], ovvero una funzione di [tex]x[/tex], cioè ho reso la derivata una funzione di [tex]x[/tex].
Continuo a ringraziare per le risposte esaurienti.
Io so che h mi serve per calcolare il rapporto incrementale tra due punti,quello che non capisco
e' nella pratica, in relazione al fatto che mi sara' magari richiesto di calcolare la tangente in un punto,non ho capito da dove mi arriverebbe questo secondo punto per fare il rapporto col primo,non ho capito se negli esercizi sulle derivate avro' un secondo punto o lo dovro' trovare io.
Se ho capito bene la tua spiegazione,h e' solo nella dimostrazione come simbolo ma poi nel calcolo si toglie?
La formula finale si considera senza h?
Io so che h mi serve per calcolare il rapporto incrementale tra due punti,quello che non capisco
e' nella pratica, in relazione al fatto che mi sara' magari richiesto di calcolare la tangente in un punto,non ho capito da dove mi arriverebbe questo secondo punto per fare il rapporto col primo,non ho capito se negli esercizi sulle derivate avro' un secondo punto o lo dovro' trovare io.
Se ho capito bene la tua spiegazione,h e' solo nella dimostrazione come simbolo ma poi nel calcolo si toglie?
La formula finale si considera senza h?
Io ti sto spiegando la teoria, poiché non avevi ben chiaro il concetto di derivata, sto cercando di rendertelo un pochino più chiaro.
Negli esercizi utilizzerai le formule di derivazione.
Facciamo subito un esempio.
Premettiamo quanto segue: dire che la derivata di una funzione in un punto del suo dominio indica la pendenza della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa il punto in cui si calcola la derivata significa dire che la derivata calcolata nel punto [tex]x_{0}[/tex] indica il coefficiente angolare [tex]m[/tex] che compare nell'equazione [tex]y=mx+q[/tex] della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa [tex]x_{0}[/tex].
Data la funzione [tex]f(x)=x^{2}+1[/tex] vogliamo calcolare la sua derivata nel punto [tex]x_{0}=1[/tex].
Procediamo col rapporto incrementale:
[tex]\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{[(1+h)^{2}+1]-[1^{2}+1]}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{1+2h+h^{2}+1-2}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h^{2}+2h}{h}=\lim_{h \to 0}h+2=2[/tex]
Per la nostra premessa il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa [tex]x_{0}=1[/tex] è [tex]m=2[/tex].
Domanda: come facciamo a risparmiarci l'utilizzo ogni volta del rapporto incrementale? Risposta: ricaviamo la funzione derivata. Come? Così: usiamo il rapporto incrementale per un generico [tex]x[/tex], quindi
[tex]\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{[(x+h)^{2}+1]-[x^{2}+1]}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2hx+h^{2}+1-x^{2} -1}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h^{2}+2xh}{h}=\lim_{h \to 0}h+2x=2x[/tex]
sicchè in generale avremo a disposizione la funzione derivata [tex]f'(x)=2x[/tex]. Con questa funzione possiamo allora trovare il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione [tex]f(x)=x^{2}+1[/tex] nel punto [tex]x_{0}=1[/tex] subito, senza il rapporto incrementale, facendo [tex]f'(1)=2\cdot1=2[/tex], ma anche per [tex]x_{0}=3[/tex] o quello che ti pare. Per risolvere gli esercizi ricorrerai alla funzione derivata.
Chiaro?
Negli esercizi utilizzerai le formule di derivazione.
Facciamo subito un esempio.
Premettiamo quanto segue: dire che la derivata di una funzione in un punto del suo dominio indica la pendenza della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa il punto in cui si calcola la derivata significa dire che la derivata calcolata nel punto [tex]x_{0}[/tex] indica il coefficiente angolare [tex]m[/tex] che compare nell'equazione [tex]y=mx+q[/tex] della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa [tex]x_{0}[/tex].
Data la funzione [tex]f(x)=x^{2}+1[/tex] vogliamo calcolare la sua derivata nel punto [tex]x_{0}=1[/tex].
Procediamo col rapporto incrementale:
[tex]\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{[(1+h)^{2}+1]-[1^{2}+1]}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{1+2h+h^{2}+1-2}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h^{2}+2h}{h}=\lim_{h \to 0}h+2=2[/tex]
Per la nostra premessa il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa [tex]x_{0}=1[/tex] è [tex]m=2[/tex].
Domanda: come facciamo a risparmiarci l'utilizzo ogni volta del rapporto incrementale? Risposta: ricaviamo la funzione derivata. Come? Così: usiamo il rapporto incrementale per un generico [tex]x[/tex], quindi
[tex]\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{[(x+h)^{2}+1]-[x^{2}+1]}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2hx+h^{2}+1-x^{2} -1}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h^{2}+2xh}{h}=\lim_{h \to 0}h+2x=2x[/tex]
sicchè in generale avremo a disposizione la funzione derivata [tex]f'(x)=2x[/tex]. Con questa funzione possiamo allora trovare il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione [tex]f(x)=x^{2}+1[/tex] nel punto [tex]x_{0}=1[/tex] subito, senza il rapporto incrementale, facendo [tex]f'(1)=2\cdot1=2[/tex], ma anche per [tex]x_{0}=3[/tex] o quello che ti pare. Per risolvere gli esercizi ricorrerai alla funzione derivata.
Chiaro?
chiarissimo!
Per la teoria la derivata e' una funzione che per ogni mia x mi calcola il il limite di quel rapporto,che ogni volta dovrei fare manualmente.
Avevo letto,che la derivata si usa per capire come varia una grandezza in una funzione,tipo l'accelerazione.
Cioe' piu' in un punto si e' in accelerazione,piu' questa pende.
Per la pratica in un esercizio di matematica,io voglio sapere la pendenza della tangente di un punto di una funzione.
Ottengo tramite le regole di derivazione la derivata.
Quindi sostituisco la x della derivata col valore del punto del quale voglio avere la pendenza della tangente.
Per la pratica nella materia del diploma ma non voglio andare ot parlando di circuiti,io ho una cosa
che si chiama derivatore,e l'uscita e' tanto piu' alta quanto l'entrata varia nel tempo.
Matematicamente,e' mica perche' essendo la derivata un rapporto che indica una variazione,ho l'uscita piu' alta tanto piu' l'ingresso varia?
Come se pendesse di piu''?
Per la relazione con l'integrale,la derivata e' figlia dell'integrale?
Quindi se si,io da una funzione ne ottengo la derivata,con la prima posso sapere l'area delimitata da due punti della seconda?
Una dell'altra mi da la pendenza delle tangenti,e viceversa l'area?
Per la teoria la derivata e' una funzione che per ogni mia x mi calcola il il limite di quel rapporto,che ogni volta dovrei fare manualmente.
Avevo letto,che la derivata si usa per capire come varia una grandezza in una funzione,tipo l'accelerazione.
Cioe' piu' in un punto si e' in accelerazione,piu' questa pende.
Per la pratica in un esercizio di matematica,io voglio sapere la pendenza della tangente di un punto di una funzione.
Ottengo tramite le regole di derivazione la derivata.
Quindi sostituisco la x della derivata col valore del punto del quale voglio avere la pendenza della tangente.
Per la pratica nella materia del diploma ma non voglio andare ot parlando di circuiti,io ho una cosa
che si chiama derivatore,e l'uscita e' tanto piu' alta quanto l'entrata varia nel tempo.
Matematicamente,e' mica perche' essendo la derivata un rapporto che indica una variazione,ho l'uscita piu' alta tanto piu' l'ingresso varia?
Come se pendesse di piu''?
Per la relazione con l'integrale,la derivata e' figlia dell'integrale?
Quindi se si,io da una funzione ne ottengo la derivata,con la prima posso sapere l'area delimitata da due punti della seconda?
Una dell'altra mi da la pendenza delle tangenti,e viceversa l'area?
Per quanto riguarda il derivatore, non ti so rispondere perché sono ignorante in materia, quindi ogni mia risposta potrebbe essere fuorviante.
Per quanto riguarda la derivata ci siamo; solo un appunto: in un esercizio potrebbe esservi anche la sola semplice richiesta di calcolare la derivata (anziché la pendenza della tangente, ed anzi è più frequente la prima richiesta), ebbene, laddove ciò ti fosse chiesto, non ocorre che ti calcoli il limite del rapporto incrementale nel punto, ti basta usare le regole di derivazione per ottenre la funzione derivata e mettere al posto di [tex]x[/tex] il valore numerico del punto (come ho fatto nell'esercizio dimostrativo).
Per quanto riguarda l'integrale, la questione è un poco più complessa. Diciamo subito che si può parlare di integrale definito ed integrale indefinito.
Diciamo innanzitutto che data la funzione [tex]f(x)[/tex], chiamiamo primitiva di [tex]f(x)[/tex] la funzione [tex]g(x)[/tex] se e solo se la funzione deriva [tex]g'(x)[/tex] che si ottiene a partire da [tex]g(x)[/tex] con le regole di derivazione è uguale alla nostra [tex]f(x)[/tex].
Ciò detto, supponiamo che [tex]g(x)[/tex] sia una primitiva di [tex]f(x)[/tex] e consideriamo la funzione [tex]h(x)=g(x)+\alpha[/tex] dove [tex]\alpha[/tex] è un qualunque numero reale. Cerchiamo la (funzione) derivata [tex]h'(x)[/tex]: con le regole di derivazione abbiamo [tex]h'(x)=D(g(x)+\alpha)=g'(x)+D(\alpha)[/tex] e poiché [tex]\alpha[/tex] è una costante si ha [tex]D(\alpha)=0[/tex], da cui [tex]h'(x)=g'(x)+0=g'(x)[/tex]. Questo ragionamento può essere ripetuto per qualunque numero reale [tex]\alpha[/tex], quindi se [tex]g(x)[/tex] è una primitiva di [tex]f(x)[/tex] posso trovare infinite altre primitive semplicemente sommando (o sottraendo) a [tex]g(x)[/tex] un numero reale a mio piacere. Questo spiega perché si parla di "una primiteiva" e non de "la primitiva".
Da questo discorso è evidente che se una funzione [tex]f(x)[/tex] ammette una primitiva, allora ne ammette infinite.
Se è chiaro, continuo.
Per quanto riguarda la derivata ci siamo; solo un appunto: in un esercizio potrebbe esservi anche la sola semplice richiesta di calcolare la derivata (anziché la pendenza della tangente, ed anzi è più frequente la prima richiesta), ebbene, laddove ciò ti fosse chiesto, non ocorre che ti calcoli il limite del rapporto incrementale nel punto, ti basta usare le regole di derivazione per ottenre la funzione derivata e mettere al posto di [tex]x[/tex] il valore numerico del punto (come ho fatto nell'esercizio dimostrativo).
Per quanto riguarda l'integrale, la questione è un poco più complessa. Diciamo subito che si può parlare di integrale definito ed integrale indefinito.
Diciamo innanzitutto che data la funzione [tex]f(x)[/tex], chiamiamo primitiva di [tex]f(x)[/tex] la funzione [tex]g(x)[/tex] se e solo se la funzione deriva [tex]g'(x)[/tex] che si ottiene a partire da [tex]g(x)[/tex] con le regole di derivazione è uguale alla nostra [tex]f(x)[/tex].
Ciò detto, supponiamo che [tex]g(x)[/tex] sia una primitiva di [tex]f(x)[/tex] e consideriamo la funzione [tex]h(x)=g(x)+\alpha[/tex] dove [tex]\alpha[/tex] è un qualunque numero reale. Cerchiamo la (funzione) derivata [tex]h'(x)[/tex]: con le regole di derivazione abbiamo [tex]h'(x)=D(g(x)+\alpha)=g'(x)+D(\alpha)[/tex] e poiché [tex]\alpha[/tex] è una costante si ha [tex]D(\alpha)=0[/tex], da cui [tex]h'(x)=g'(x)+0=g'(x)[/tex]. Questo ragionamento può essere ripetuto per qualunque numero reale [tex]\alpha[/tex], quindi se [tex]g(x)[/tex] è una primitiva di [tex]f(x)[/tex] posso trovare infinite altre primitive semplicemente sommando (o sottraendo) a [tex]g(x)[/tex] un numero reale a mio piacere. Questo spiega perché si parla di "una primiteiva" e non de "la primitiva".
Da questo discorso è evidente che se una funzione [tex]f(x)[/tex] ammette una primitiva, allora ne ammette infinite.
Se è chiaro, continuo.
Bene non sembra difficilissima la questione delle derivate forse allora...
Per l'integrale e' chiaro.
Per l'integrale e' chiaro.
Bene, allora l'ultimo post.
Data la funzione [tex]f(x)[/tex], se [tex]g(x)[/tex] è una primitiva di [tex]f(x)[/tex], posso trovare infinite altre primitive, sommando un qualsivoglia [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex] a [tex]g(x)[/tex]. Chiamo integrale indefinito di [tex]f(x)[/tex] e lo indico con [tex]\displaystyle \int f(x) \text{d}x[/tex] la classe delle primitive di [tex]f(x)[/tex]: ovvero, se [tex]g(x)[/tex] è una primitiva di [tex]f(x)[/tex], si ha [tex]\displaystyle \int f(x) \text{d}x=g(x)+C[/tex] dove [tex]C[/tex] è una variabile che indica una qualunque costante additiva reale.
La funzione [tex]f(x)[/tex] si chiama funzione integranda, [tex]\text{d}x[/tex] si chiama differenziale della variabile indipendente, la variabile [tex]x[/tex] è muta, i.e. può essere cambiata a piacere con una qualunque variabile, ovvero [tex]\displaystyle \int f(x) \text{d}x = \int f(t) \text{d}t = \int f(z) \text{d}z = \cdots[/tex].
Ovviamente esistono delle regole di integrazione, che ti permettono di determinare in modo quasi meccanico la soluzione dell'integrale indefinito e che puoi trovare, ad esempio, qui.
In questo senso l'integrazione è l'operazione inversa della derivazione.
Data una funzione [tex]f(x)[/tex] definita sull'intervallo [tex][a;b][/tex], chiamo rettangoloide sotteso dal grafico della funzione la parte del piano cartesiano chiusa dalle perpendicolari all'asse delle [tex]x[/tex] condotte per [tex]a[/tex] e per [tex]b[/tex], dal segmento dell'asse delle [tex]x[/tex] avente per estremi i punti [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] e dalla parte del grafico di [tex]f(x)[/tex] individuata sul grafico stesso dalle perpendicolari all'asse [tex]x[/tex] precedentemente condotte per i punti [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. Chiamo integrale definito di [tex]f(x)[/tex] esteso ad [tex][a;b][/tex] l'area con segno di questo rettangoloide (segno che dipende dal fatto che questo rettangoloide si trovi nel semipiano delle [tex]y[/tex] positive o negative)*, e lo indico con [tex]\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x[/tex] dove vale la stessa nomenclatura dell'integrale indefinito ed [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] si chiamano estremi di integrazione.
Come si calcola l'integrale definito? Si calcola così: si trova l'integrale indefinito della funzione integranda, quindi, trovata la primitiva si calcola il valore della primitiva per [tex]x=a[/tex], poi lo si calcola per [tex]x=b[/tex] e si fa la differenza tra il valore calcolato in [tex]a[/tex] e quello calcolato in [tex]b[/tex]. Qui trovi alcune proprietà degli integrali definiti.
OK?
______________________
* Questa non è una vera e propria definizione, ma è più una interpretazione geometrica. Una definizione rigorosa esiste, ma credo esuli da quelli che sono i tuoi interessi: io, ad esmpio, ricordo che al liceo non vedemmo la definizione di integrale ma prendemmo per buona questa interpretazione geometrica, tuttavia se doveste trattare questa definizione più precisa puoi sempre tornare per chiedere chiarimenti.
Data la funzione [tex]f(x)[/tex], se [tex]g(x)[/tex] è una primitiva di [tex]f(x)[/tex], posso trovare infinite altre primitive, sommando un qualsivoglia [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex] a [tex]g(x)[/tex]. Chiamo integrale indefinito di [tex]f(x)[/tex] e lo indico con [tex]\displaystyle \int f(x) \text{d}x[/tex] la classe delle primitive di [tex]f(x)[/tex]: ovvero, se [tex]g(x)[/tex] è una primitiva di [tex]f(x)[/tex], si ha [tex]\displaystyle \int f(x) \text{d}x=g(x)+C[/tex] dove [tex]C[/tex] è una variabile che indica una qualunque costante additiva reale.
La funzione [tex]f(x)[/tex] si chiama funzione integranda, [tex]\text{d}x[/tex] si chiama differenziale della variabile indipendente, la variabile [tex]x[/tex] è muta, i.e. può essere cambiata a piacere con una qualunque variabile, ovvero [tex]\displaystyle \int f(x) \text{d}x = \int f(t) \text{d}t = \int f(z) \text{d}z = \cdots[/tex].
Ovviamente esistono delle regole di integrazione, che ti permettono di determinare in modo quasi meccanico la soluzione dell'integrale indefinito e che puoi trovare, ad esempio, qui.
In questo senso l'integrazione è l'operazione inversa della derivazione.
Data una funzione [tex]f(x)[/tex] definita sull'intervallo [tex][a;b][/tex], chiamo rettangoloide sotteso dal grafico della funzione la parte del piano cartesiano chiusa dalle perpendicolari all'asse delle [tex]x[/tex] condotte per [tex]a[/tex] e per [tex]b[/tex], dal segmento dell'asse delle [tex]x[/tex] avente per estremi i punti [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] e dalla parte del grafico di [tex]f(x)[/tex] individuata sul grafico stesso dalle perpendicolari all'asse [tex]x[/tex] precedentemente condotte per i punti [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. Chiamo integrale definito di [tex]f(x)[/tex] esteso ad [tex][a;b][/tex] l'area con segno di questo rettangoloide (segno che dipende dal fatto che questo rettangoloide si trovi nel semipiano delle [tex]y[/tex] positive o negative)*, e lo indico con [tex]\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x[/tex] dove vale la stessa nomenclatura dell'integrale indefinito ed [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] si chiamano estremi di integrazione.
Come si calcola l'integrale definito? Si calcola così: si trova l'integrale indefinito della funzione integranda, quindi, trovata la primitiva si calcola il valore della primitiva per [tex]x=a[/tex], poi lo si calcola per [tex]x=b[/tex] e si fa la differenza tra il valore calcolato in [tex]a[/tex] e quello calcolato in [tex]b[/tex]. Qui trovi alcune proprietà degli integrali definiti.
OK?
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* Questa non è una vera e propria definizione, ma è più una interpretazione geometrica. Una definizione rigorosa esiste, ma credo esuli da quelli che sono i tuoi interessi: io, ad esmpio, ricordo che al liceo non vedemmo la definizione di integrale ma prendemmo per buona questa interpretazione geometrica, tuttavia se doveste trattare questa definizione più precisa puoi sempre tornare per chiedere chiarimenti.
Finalmente ci sono arrivato,roba di inizio decennio scorso...
Sei stato gentilissimo e non ti voglio spremere ulteriormente,tranne una cosa:
se io da una funzione ne derivo una seconda,
e voglio sapere l'area tra due punti di questa seconda,uso la prima funzione come hai spiegato?
Cioe' questa prima funzione e' a tutti gli effetti una primitiva pronta per essere usata?
Intanto ti ringrazio.
Sei stato gentilissimo e non ti voglio spremere ulteriormente,tranne una cosa:
se io da una funzione ne derivo una seconda,
e voglio sapere l'area tra due punti di questa seconda,uso la prima funzione come hai spiegato?
Cioe' questa prima funzione e' a tutti gli effetti una primitiva pronta per essere usata?
Intanto ti ringrazio.
Intendi una cosa tipo questa: ho la funzione [tex]g(x)=x^{3}+2x^{2}-x+6[/tex], ne calcolo la (funzione) derivata prima [tex]g'(x)=3x^{2}+4x-1[/tex] ed a questo punto voglio calcolare l'integrale definito di [tex]g'(x)[/tex] sull'intervallo, per esempio, [tex][2;3][/tex], ed allora devo trovare l'integrale indefinito di [tex]\int g'(x)[/tex] che è proprio [tex]g(x)[/tex], i.e. [tex]g(x)[/tex] è una primitiva di [tex]g'(x)[/tex].
Era questa la domanda?
Era questa la domanda?
si
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