Domanda su equazione di primo grado

[Athena3]

Ciao a tutti. Vorrei porvi una domanda. Si possono semplificare le frazioni algebriche all'interno di un'equazione, senza che essa cambi risultato? Ve lo chiedo perchè spesso mi è capitato di semplificare a volte il numeratore di una frazione algebrica col proprio denominatore ma alla fine l'equazione non risultava più.
Ad esempio:

$(sqrt2(1-x))/2 - (xsqrt2)/(sqrt2-2)=(2x)/(sqrt2-1)$ Risultato $x=sqrt2-1$

io ho scomposto così i denominatori

$(sqrt2(1-x))/(sqrt2sqrt2) - (xsqrt2)/(-sqrt2(sqrt2-1))=(2x)/(sqrt2-1)

E' valido questo passaggio?


$(1-x)/(sqrt2) + x/(sqrt2-1)=(2x)/(sqrt2-1)

Se provo a risolverla così, l'equazione mi risulta $x=(3-sqrt2)/7$ . Mi risulta allo stesso modo se non semplifico e uso come m.c.m $2(sqrt2-1)$
Se invece non scompongo i denominatori e lascio tutto com'è, cioè usando come m.c.m. $2(sqrt2-2)(sqrt2-1)$ , risulta tutto. Come mai? Dove sbaglio?

[giammaria2]

Il passaggio che hai fatto è valido; non ho controllato il risultato, ma se lo ottieni con due metodi diversi è probabile che sia giusto. Col terzo metodo che indichi, dai denominatore comune, ma non è il m.c.m.: è come se, avendo a denominatore 3, 4, 6 tu prendessi come denominatore comune 3*4*6. In questo modo i calcoli risultano più complicati, ma il risultato dovrebbe venire lo stesso; ti sei ricordata (se necessario) di razionalizzare il denominatore?

[Athena3]

Allora, il risultato non razionalizzato sarebbe questo $x=(1-sqrt2)/(1-2sqrt2)$ Se razionalizzo mi viene il risultato che ho messo prima.
Da qui come si arriva al risultato del libro? O è l'ennesimo testo sbagliato che trovo? Servirebbe se postassi tutti i passaggi che ho fatto?

[giammaria2]

E' l'ennesimo testo sbagliato; ora ho fatto i calcoli e ottengo il tuo risultato. Del resto, se lo ottieni con ben tre metodi diversi, è quasi certo che è giusto.

[Athena3]

Grazie per l'aiuto!
In due fotocopie fornite dall'insegnate (prese da un testo di matematica) non ho fatto altro che trovare testi di equazioni e di sistemi sbagliati! E sono entrata in crisi perchè la maggior parte degli esercizi non mi risultava e mi sembrava strano che potessero essere sempre errori del libro. Roba da non credere!