Domanda di esame 1

[indovina]

Ciao a tutti.
Ho davvero bisogno che qualcuni mi scrivi questa dimostrazione, ho provato sul web, ma niente, solo dimostrazioni vaghe e poco precise, sul libro che ho io non c'è, sugli appunti poco e niente...
Come si dimostra dunque che se un insieme X è compatto, allora è chiuso e limitato?
Grazie.

[Dreke90]

mettila come domanda non discussione!! ciao!

[indovina]

iin che senso scusa?

[paraskeuazo]

Ci penso io a cambiarlo, tranquilli.

Praticamente Emanuela, d'ora in poi, quando vuoi chiedere qualcosa, devi fare la richiesta sotto forma di domanda usando quelle opzioni in evidenza a inizio pagina: "fai una domanda" / "crea una discussione" ;)

[indovina]

ah perfetto, bene, spero che tu l'abbia cambiato xD non sono pratica ancora.
Mi serve quella dimostrazione :( dove la posso trovare?

[ciampax]

Ti serve la dimostrazione per gli intervalli di

[math]\mathbb{R}[/math]

o per gli insiemi di

[math]\mathbb{R}^n[/math]

in generale?

[indovina]

Per Ciampax.
Riguarda il capitolo delle successioni numeriche: sottoinsiemi compatti e loro caratterizzazione.
Quindi io credo che sia solo per R.
E non mi pare che fosse una dimostrazione lunga.

Per Dreke90
Io per esempio Heine-Borel non l'ho fatto.
Io ricordo che bisognava dimostrare da una parte che era chiuso
e dall'altra la sua limitatezza.
Io non ho mai sentito tutte queste proposizioni come me le presenti tu, ma farò tesoro dei tuoi consigli

[ciampax]

Allora indovina: punto 1, la dimostrazione che ha postato dreke era copiata, e fa uso di Heine-Borel che, effettivamente, non è necessario nel caso di

[math]\mathbb{R}[/math]

. Ora devo andare via, ma più tardi cerco di postarti una dimostrazione più immediata usando solo il concetto di compattezza per successioni (che credo sia la cosa di cui tu hai bisogno).

[Dreke90]

# indovina :
Per Dreke90
Io per esempio Heine-Borel non l'ho fatto.
Io ricordo che bisognava dimostrare da una parte che era chiuso
e dall'altra la sua limitatezza.
Io non ho mai sentito tutte queste proposizioni come me le presenti tu, ma farò tesoro dei tuoi consigli

OK! Io ho provato a mettere cio che potevo!! sarà per la prox!!

[indovina]

@Dreke90
Non riesco più a vedere il tuo post con tutte le dimostrazioni :(
Cmq grazie mille!

@Ciampax
Grazie per l'aiuto, aspetto tue risposte allora. :)

[aleio1]

Mm..allora..un insieme

[math]K[/math]

si dice compatto se da ogni successione a valori in

[math]K[/math]

si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di

[math]K[/math]

.

Ora sia

[math]K\subset R[/math]

compatto.
Se non fosse limitato allora

[math]\forall m \ \exists \ x_m>m[/math]

. Cioè puoi prendere punti di

[math]K[/math]

grandi a piacere costruire una serie e non riuscirai mai a trovare una sottosuccessione convergente (tantomeno ad un punto di

[math]K[/math]

). Quindi giungi al primo assurdo.

Se non fosse chiuso

[math]\exists x_0\notin \ K[/math]

di accumulazione per

[math]K[/math]

. In ogni intorno

[math]I(x_0,\frac1m)[/math]

si può trovare un punto

[math]x_m\in K[/math]

e la successione degli

[math]x_m[/math]

tenderà ad

[math]x_0[/math]

. Ma allora anche ogni sottosuccessione di

[math]x_m[/math]

tenderà ad

[math]x_0[/math]

il che è un assurdo poichè

[math]K[/math]

compatto e

[math]x_0\notin K[/math]

.

Penso possa andare..donato mi corregga..

[ciampax]

Aleio mi ha preceduto. La dimostrazione è quella.

[indovina]

Ringrazio sia aleio, sia ciampax.
Grazie di cuore.

[BIT5]

Indovina, l'assegnazione del voto come "migliore risposta" (se una risposta ti ha soddisfatto), oltre a "gratificare" chi ti ha aiutato, ti "riaccredita" di 5 punti :D

Quindi se la risposta di aleio ti ha soddisfatto, votala come MIGLIORE RISPOSTA.

Altrimenti come non detto :D