Domanda banale equazione
Ciao a tutti, innanzitutto volevo scusarmi se posto domande fin troppo banali (per me assolutamente no), ma ho un test d'ingresso da affrontare a Settembre, e non avendo studiato abbastanza la matematica alle superiori, mi sono ritrovato a studiarla da autodidatta, lasciandomi comunque alle spalle più di qualche lacuna. In ogni caso, prendendo qualche domanda dalla simulazione del test, cerco di capirle e studiarle informandomi su internet riguardo l'esercizio, per cui vorrei chiedervi se ciò che ho capito della domanda che sto per scrivere, sia giusto o sbagliato.
La domanda è:
L'equazione $x^4 + x^2 + 1 = 0$
A) ammette quattro radici reali
B) non ammette radici reali
C) ammette almeno una radice reale
D) ammette almeno due radici reali
Vedendo la domanda, ho subito notato che durante il mio percorso da autodidatta, non mi era mai capitato di trovare una equzione scritta in questa forma. Vedendo su internet, ho capito che, quelle nella forma $ax^4 + bx^2 +c = 0$ si chiamano equazioni biquadratiche. E che, le radici reali, non sono altro che le soluzioni che "vengono fuori" alla fine dell'esercizio.
Ho quindi proseguito così:
1) sostituisco $x^2$ con $t$, ed $x^4$ con $t^2$, quindi l'equazione diventa: $t^2 + t + 1 = 0$
2) calcolo il delta, che viene $-3$
3) essendo il delta negativo, l'equazione non ammette soluzioni reali.
Quindi, la risposta giusta per me è la B.
Facendo altri esercizi, ad esempio questo: $x^4 - x^2 - 12 = 0$, ho calcolato il delta (49), poi ho eseguito la formula t1/2 (-b +-√delta / 2*a) , trovando $t1 = -3$ e $t2 = 4$.
Proseguendo, x1/2 = +-√t1 , quindi = +-√3
invece, x3/4 = +-√t2, quindi = +-√4
le soluzioni reali sono solamente $x3 = -2 ed x4 = 2$, dato che x1 ed x2 avevano il segno negativo (+-√-3)
In questo caso, avrei detto che la risposta giusta è la D.
E' tutto giusto il procedimento? è questo il modo corretto di rispondere al quesito?
Grazie a tutti per l'attenzione e soprattutto per la pazienza!
La domanda è:
L'equazione $x^4 + x^2 + 1 = 0$
A) ammette quattro radici reali
B) non ammette radici reali
C) ammette almeno una radice reale
D) ammette almeno due radici reali
Vedendo la domanda, ho subito notato che durante il mio percorso da autodidatta, non mi era mai capitato di trovare una equzione scritta in questa forma. Vedendo su internet, ho capito che, quelle nella forma $ax^4 + bx^2 +c = 0$ si chiamano equazioni biquadratiche. E che, le radici reali, non sono altro che le soluzioni che "vengono fuori" alla fine dell'esercizio.
Ho quindi proseguito così:
1) sostituisco $x^2$ con $t$, ed $x^4$ con $t^2$, quindi l'equazione diventa: $t^2 + t + 1 = 0$
2) calcolo il delta, che viene $-3$
3) essendo il delta negativo, l'equazione non ammette soluzioni reali.
Quindi, la risposta giusta per me è la B.
Facendo altri esercizi, ad esempio questo: $x^4 - x^2 - 12 = 0$, ho calcolato il delta (49), poi ho eseguito la formula t1/2 (-b +-√delta / 2*a) , trovando $t1 = -3$ e $t2 = 4$.
Proseguendo, x1/2 = +-√t1 , quindi = +-√3
invece, x3/4 = +-√t2, quindi = +-√4
le soluzioni reali sono solamente $x3 = -2 ed x4 = 2$, dato che x1 ed x2 avevano il segno negativo (+-√-3)
In questo caso, avrei detto che la risposta giusta è la D.
E' tutto giusto il procedimento? è questo il modo corretto di rispondere al quesito?
Grazie a tutti per l'attenzione e soprattutto per la pazienza!
Risposte
E' molto più semplice... $x^4$ è un quadrato (di $x^2$) e non può essere negativo. $x^2$ idem. Se poi gli sommi 1, il risultato non può che essere positivo. Quindi, non sarà mai = 0 (per x reale). Risposta B.
Comunque, anche quello che hai fatto è giusto... ma se vedi delle scorciatoie (almeno, questa è la mia opinione) è meglio
Comunque, anche quello che hai fatto è giusto... ma se vedi delle scorciatoie (almeno, questa è la mia opinione) è meglio
Corretto ; per il rpimo esercizio si poteva anche notare che il trinomio $ x^4+x^2+1 $ è formato dalla somma di 3 quadrati $(x^2)^2 +(x)^2+(1)^2 $ e quindi sempre positivo, mai nullo .
Davvero grazie mille per le vostre risposte, soprattutto per avermi fatto notare le "scorciatoie"! 
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