Domanda
Ciao, volevo chiedervi una cosa a proposito di un limite
faccio un esempio per x che tende ad infinito (2x - sqrt(4x^2 - x) ora so che in questi casi il consiglio è quello di razionalizzare
però chi mi vieta di raccogliere il termine di grado maggiore sotto radice portarlo fuori e sottrarlo in questo caso al termine fuori radice, verrebbe 0
il risultato però è 1/4 lo so già non è questo il mio problema perchè se razionalizzo e via dicendo sia al denominatore faccio la stessa cosa che ho appena detto, porto fuori radice e sottraggo
perchè sotto si e sopra no ?
faccio un esempio per x che tende ad infinito (2x - sqrt(4x^2 - x) ora so che in questi casi il consiglio è quello di razionalizzare
però chi mi vieta di raccogliere il termine di grado maggiore sotto radice portarlo fuori e sottrarlo in questo caso al termine fuori radice, verrebbe 0
il risultato però è 1/4 lo so già non è questo il mio problema perchè se razionalizzo e via dicendo sia al denominatore faccio la stessa cosa che ho appena detto, porto fuori radice e sottraggo
perchè sotto si e sopra no ?
Risposte
"pekoponjin":
perchè sotto si e sopra no ?
Cosa sotto sì e sopra no? Perdonami, ma non mi è molto chiaro...
Forse ho capito, raccogliendo il termine di grado massimo ottieni una forma indeterminata $\infty - \infty$.
Grazie del tuo intervento Tipper ma non mi è ancora chiaro
io per risolvere un limite faccio cosi, prima sostituisco e in questo caso c'è una forma indeterminata sotto radice
quindi dato che x tende a + infinito posso raccogliere il termine di grado massimo 2x - sqrt(4x^2(1 - x/4x^2)) posso spezzare il prodotto cosi sqrt(4x^2)*sqrt(1) e quindi 2x - 2x*1 = 2x - 2x = 0 cosa ho fatto che non è lecito
ti faccio notare che razionalizzando al denominatore farei la stessa cosabasta sostituire a quel meno un più
io per risolvere un limite faccio cosi, prima sostituisco e in questo caso c'è una forma indeterminata sotto radice
quindi dato che x tende a + infinito posso raccogliere il termine di grado massimo 2x - sqrt(4x^2(1 - x/4x^2)) posso spezzare il prodotto cosi sqrt(4x^2)*sqrt(1) e quindi 2x - 2x*1 = 2x - 2x = 0 cosa ho fatto che non è lecito
ti faccio notare che razionalizzando al denominatore farei la stessa cosabasta sostituire a quel meno un più
"pekoponjin":
sqrt(4x^2)*sqrt(1) e quindi 2x - 2x*1 = 2x - 2x = 0
Questo non va bene, non puoi passare al limite da una parte, cioè sotto la radice, e lasciare invariato il $2x$ fuori. Se passi al limite contemporaneamente in tutti i termini ottieni la forma $\infty - \infty$.
vorresti dirmi che non posso raccogliere il termine di grado massimo solo sotto radice, perchè in pratica starei facendo lim (2x) - lim (sqrt(...)) e quindi inf - inf ?
però se ho capito bene questo perchè qui va bene 2x + sqrt(4x^2 - x) ?
però se ho capito bene questo perchè qui va bene 2x + sqrt(4x^2 - x) ?
"pekoponjin":
2x + sqrt(4x^2 - x)
Non va bene farlo neanche qui, anche se in questo caso torna lo stesso. In questo caso torna lo stesso perché $\infty + \infty$ non è una forma indeterminata.
Quello che non si può fare non è raccogliere il termine di grado massimo, questo si può fare sempre, quello che non si può fare è passare al limite solo per alcuni termini, e non per tutti.
Scusami ti ringrazio per la pazienza ma cosa vorrebbe dire esattamente passare al limite e quando ci passo per risolvere questo esercizio ? succede questo quando impari le cose meccanicamente
faccio un po di esempi per vedere se ho capito
x - x + x per x -> + inf qui posso semplificare resta x sostituisco (e questo che intendi passare al limite) e viene inf
x + 2x^2 + 3x^3 per x-> + inf
questo è un polinomio raccolgo il termine di grado massimo sostituisco e viene inf
per l'esercizio in questione mi faresti vedere come si risolve matematicamente corretto perchè io facevo quella cosa che non va bene
x - x + x per x -> + inf qui posso semplificare resta x sostituisco (e questo che intendi passare al limite) e viene inf
x + 2x^2 + 3x^3 per x-> + inf
questo è un polinomio raccolgo il termine di grado massimo sostituisco e viene inf
per l'esercizio in questione mi faresti vedere come si risolve matematicamente corretto perchè io facevo quella cosa che non va bene
Prima di farti vedere come si risolve l'esercizio vorrei provare a farti capire quella cosa con un esempio... dimmi quanto fa $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x}$ (se non hai installato MathML te lo dico a parole, limite per x che tende a zero di x/x)
semplifico, no ? e viene uno
Infatti, fa uno e si risolve proprio semplificando. Ma se io passassi al limite solo da una parte guarda cosa succederebbe... per prima cosa scrivo il limite come x * 1/x, poi dico x tende a zero, quindi scrivo il limite come 0 * 1/x, e quindi arriverei alla sbagliata conclusione che il limite fa zero... capito perché non si può passare solo da una parte al limite?
Comunque, per quanto riguarda il limite iniziale, per risolverlo si razionalizza, cioè si moltiplica sopra e sotto per $2x + \sqrt{4x^2 - x}$ e il limite diventa
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^2 - 4x^2 + x}{2x + \sqrt{4x^2 - x}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{2x + \sqrt{4x^2 - x}}$
dividendo sopra e sotto per $x$ si ottiene
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{2 + \sqrt{4 - \frac{1}{x}}} = \frac{1}{2 + \sqrt{4}} = \frac{1}{4}$
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^2 - 4x^2 + x}{2x + \sqrt{4x^2 - x}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{2x + \sqrt{4x^2 - x}}$
dividendo sopra e sotto per $x$ si ottiene
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{2 + \sqrt{4 - \frac{1}{x}}} = \frac{1}{2 + \sqrt{4}} = \frac{1}{4}$
Grazie Tipper, sei stato gentile ad aiutarmi
ciao
ciao
Prego, ciao.
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