Domanda
Data l'equazione di secondo grado
f^2-(2b+a)f+ab
come ricavo che il valore positivo di f dovrebbe essere:
f=a/2*(-1+sqrt(1+4b/a))
grazie.
f^2-(2b+a)f+ab
come ricavo che il valore positivo di f dovrebbe essere:
f=a/2*(-1+sqrt(1+4b/a))
grazie.
Risposte
Mentre ci siamo ho da farvi un'altra domanda.
Dato il quesito:
Trovare i valori dell'intero positivo n per cui il numero
(2n+91)/(n+11)
è un intero
è corretto procedere in questa maniera?
(2n+91)=k(n+11) con k intero positivo
2n+91=nk+11k --> n=(11k-91)/(2-k)
quindi i valori del numero n dovrebbero essere le immagini positive e intere della funzione n=f(k) con k intero positivo.
Poichè la funzione è positiva per 2
Grazie ancora.
Dato il quesito:
Trovare i valori dell'intero positivo n per cui il numero
(2n+91)/(n+11)
è un intero
è corretto procedere in questa maniera?
(2n+91)=k(n+11) con k intero positivo
2n+91=nk+11k --> n=(11k-91)/(2-k)
quindi i valori del numero n dovrebbero essere le immagini positive e intere della funzione n=f(k) con k intero positivo.
Poichè la funzione è positiva per 2
Grazie ancora.
quote:
Originally posted by giuseppe87x
Dato il quesito:
Trovare i valori dell'intero positivo n per cui il numero
(2n+91)/(n+11)
è un intero
...
Molto semplicemente (2n+91)/(n+11)=(2n+22)/(n+11)+69/(n+11)=2+69/(n+11)
69 è divisibile per 3, 23 e 69 quindi n+11=23 e n+11=69 quindi n=12 v n=58
grazie iteuler
Come si potrebbe dimostrare che, dato un numero n così scomposto in fattori primi
$n=p_(1)^(a_(1))p_(2)^(a_(2))...p_(r)^(a_(r))$
dove le p rappresentano numeri primi tutti distinti, si ha
$f(n)=n(1-1/(p_(1)))*(1-1/(p_(2)))*...*(1-1/(p_(r)))$
dove f(n) è la funzione di Eulero per il numero n?
grazie
$n=p_(1)^(a_(1))p_(2)^(a_(2))...p_(r)^(a_(r))$
dove le p rappresentano numeri primi tutti distinti, si ha
$f(n)=n(1-1/(p_(1)))*(1-1/(p_(2)))*...*(1-1/(p_(r)))$
dove f(n) è la funzione di Eulero per il numero n?
grazie
Courant Robbins, pagina 89 (sulla mia edizione).
Dunque, io pensai di dimostrarlo in questo modo:
Per il teorema fondamentale dell' aritmetica un numero $n$ può essere scomposto in fattori primi in un unico modo, quindi $n=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}...p_r^{alpha_r}$, vogliamo dimostrare che $phi(n)=nprod_{k=1}^{r}(1-1/p_k)$ dove $p_k$ sono generici primi.
Consideriamo il caso in cui $n_1=p_1^{alpha_1}$, $n_1$ sarà primo con tutti gli interi compresi tra $1$ e $n_1$ esclusi tutti i multipli di $p_1$ che sono $p_1^{alpha_1}/p_1$ quindi $phi(n_1)=p_1^{alpha_1}-p_1^{alpha_1}/p_1=p_1^{alpha_1}-p_1^{alpha_1-1}=p_1^{alpha_1}(1-1/p_1)$
Dato che $phi(n)$ è una funzione moltiplicativa (cosa che in realtà non ho dimostrato) $phi(n_{1}n_{2}...n_{r})=p_1^{alpha_1}(1-1/p_1)p_2^{alpha_2}(1-1/p_2)...p_r^{alpha_r}(1-1/p_r)=nprod_{k=1}^{r}(1-1/p_k)$.
Complimenti per la lettura, ciao.
[EDIT] Ho corretto
Dunque, io pensai di dimostrarlo in questo modo:
Per il teorema fondamentale dell' aritmetica un numero $n$ può essere scomposto in fattori primi in un unico modo, quindi $n=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}...p_r^{alpha_r}$, vogliamo dimostrare che $phi(n)=nprod_{k=1}^{r}(1-1/p_k)$ dove $p_k$ sono generici primi.
Consideriamo il caso in cui $n_1=p_1^{alpha_1}$, $n_1$ sarà primo con tutti gli interi compresi tra $1$ e $n_1$ esclusi tutti i multipli di $p_1$ che sono $p_1^{alpha_1}/p_1$ quindi $phi(n_1)=p_1^{alpha_1}-p_1^{alpha_1}/p_1=p_1^{alpha_1}-p_1^{alpha_1-1}=p_1^{alpha_1}(1-1/p_1)$
Dato che $phi(n)$ è una funzione moltiplicativa (cosa che in realtà non ho dimostrato) $phi(n_{1}n_{2}...n_{r})=p_1^{alpha_1}(1-1/p_1)p_2^{alpha_2}(1-1/p_2)...p_r^{alpha_r}(1-1/p_r)=nprod_{k=1}^{r}(1-1/p_k)$.
Complimenti per la lettura, ciao.
[EDIT] Ho corretto
Anche sulla mia edizione è a pagina 89!
Comunque forse sarà semplice però io non ho capito una cosa. All'inizio hai scritto:
$n=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}...p_r^{alpha_r}=nprod_{k=1}^{r}(1-1/p_k)$
ora l'eguaglianza è una relazione d'equivalenza e come tale gode della proprietà transitiva, quindi se A=B e B=C allora A=C; da quello che hai scritto deduco che $n=nprod_{k=1}^{r}(1-1/p_k)$. Ma come è possibile? se a=an, n non deve essere uguale a uno?
Ti ripeto molto probabilmente sarà scontato però io non riesco ad efferrare quel passaggio. Ciao e grazie di nuovo.
Comunque forse sarà semplice però io non ho capito una cosa. All'inizio hai scritto:
$n=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}...p_r^{alpha_r}=nprod_{k=1}^{r}(1-1/p_k)$
ora l'eguaglianza è una relazione d'equivalenza e come tale gode della proprietà transitiva, quindi se A=B e B=C allora A=C; da quello che hai scritto deduco che $n=nprod_{k=1}^{r}(1-1/p_k)$. Ma come è possibile? se a=an, n non deve essere uguale a uno?
Ti ripeto molto probabilmente sarà scontato però io non riesco ad efferrare quel passaggio. Ciao e grazie di nuovo.
ehm no, nulla di scontato, avevo saltato un pezzo, ora ho corretto, grazie per la segnalazione
Grazie, ho capito.
Un'ultima cosa: si potrebbe dimostrare anche con il principio di induzione?
Un'ultima cosa: si potrebbe dimostrare anche con il principio di induzione?
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