Divisori di un numero

[giuseppe87x]

Per trovare tutti i divisori di un numero a, basta scomporlo nel prodotto

a=p1^(n1)*p2^(n2)*...*pr(nr)

dove p sono i numeri primidistinti tra loro, ciascuno elevato a una certa potenza.
Tutti i divisori di a sono rappresentati dai numeri

b=p1(m1)*p2^(m2)*...*pr(mr)

dove le m sono numeri interi soddisfacenti alle disuguaglianze:
0<=m1<=n1, 0<=m2<=n2, 0<=mr<=nr

Dimostrare questa proposizione. Come conseguenza, far vedere che il numeri di divisori di a diversi fra loro (compresi a e 1) è dato dal prodotto (n1+1)(n2+1)*...*(nr+1).

Grazie a chi mi risponderà.

[Sk_Anonymous]

Quello che chiedi e' il criterio generale di divisibilita' di un numero A per un numero B.
Abbozzo la dimostrazione :
La condizione e' necessaria.
Sia A divisibile per B ,allora ogni divisore (primo ) di B ,dividendo A, deve dividere
qualche divisore (primo) di A ovvero deve coincidere con esso e dunque tutti i
divisori primi di B devono essere contenuti in A ovviamente con esponente
non maggiore.
La condizione e' sufficiente.
Basta osservare che in tal caso,cioe' se tutti i fattori primi di B sono contenuti
in A con esponente non maggiore, allora si potra' esprimere A come prodotto di
B e un certo numero di potenze dei fattori primi di B elevati ad opportuni
esponenti .Cio' significa che A e' divisibile per B.
Per la seconda parte del quesito scriviamo tutte le possibili potenze dei
divisori primi di A su righe secondo il seguente schema:

Per quanto precede ,tutti i divisori possibili di A si otterranno moltiplicando
formalmente ogni riga dello schema per tutte quelle seguenti.
E poiche' nella riga n(i)-esima ci sono n(i)+1 potenze,dalla moltiplicazione si
ottiene il risultato richiesto.
La dimostrazione completa e' difficile da scrivere (almeno per me ) senza
un programma di scrittura adeguato.
A proposito che fine ha fatto il LaTeX? Forse Matteo,al quale va
il mio convinto plauso per l'ottimo lavoro fatto,si e' fatto condizionare
dai detrattori "a priori" di tale strumento....
Archimede.

[giuseppe87x]

Archimede ti ringrazio per la risposta però non ho capito una cosa.
Tu hai scritto:

...ogni divisore (primo ) di B ,dividendo A, deve dividere
qualche divisore (primo)...

ma ogni divisore primo di B come fa a dividere un altro numero primo?

[Sk_Anonymous]

Infatti ho scritto che "se un divisore primo di B divide A esso deve dividere
qualche divisore primo di A e dunque coincide con quest'ultimo.
Archimede.

[giuseppe87x]

Ah scusa questo non l'avevo ancora letto.