Divisione tra polinomi
Eccomi qua con i primi quesiti da pivello (per ulteriori approfondimenti consultate il mio topic "Riprendere la matematica"); da ieri mi sono messo a ri-studiare tutta la matematica delle superiori e ora sto affrontando i prodotti notevoli e la scomposizione dei polinomi in fattori.
"La somma di due potenze simili con esponente dispari si scompone nel prodotto della somma delle basi per un polinomio, quoziente della divisione tra la data somma delle potenze e la somma delle relative basi". In pratica:
$a^3 + b^3 = (a + b)*(a^2 - ab + b^2)$
Siccome il libro non riporta il procedimento usato, per effettuare la divisione di $a^3 + b^3$ ho supposto che i termini $a^2$ e $a$ abbiano coefficiente $0$, trasformando quindi il polinomio dato in $a^3 + 0a^2 + 0a + b^3$. A questo punto ho usato Ruffini e ho diviso questo nuovo polinomio per la somma delle basi (ovviamente dopo aver verificato che il polinomio sia divisibile). Il risultato torna, ma il procedimento mi sembra... non so... troppo arzigogolato! C'è una soluzione alternativa meno complicata che mi sfugge? Sarà che non sono abituato alla matematica, o che effettivamente si veda il risultato dei "non studi" delle superiori.
Allo stesso modo, poco più avanti il libro riporta la scomposizione di $x^5 + y^5$ come $(x + y)*(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$ e anche di altre somme con esponenti maggiori. Io procedo sempre con Ruffini, e ovviamente le cose si fanno più lunghe. A questo punto mi sorge il dubbio che sia io a complicarmi la vita...
Grazie mille!
"La somma di due potenze simili con esponente dispari si scompone nel prodotto della somma delle basi per un polinomio, quoziente della divisione tra la data somma delle potenze e la somma delle relative basi". In pratica:
$a^3 + b^3 = (a + b)*(a^2 - ab + b^2)$
Siccome il libro non riporta il procedimento usato, per effettuare la divisione di $a^3 + b^3$ ho supposto che i termini $a^2$ e $a$ abbiano coefficiente $0$, trasformando quindi il polinomio dato in $a^3 + 0a^2 + 0a + b^3$. A questo punto ho usato Ruffini e ho diviso questo nuovo polinomio per la somma delle basi (ovviamente dopo aver verificato che il polinomio sia divisibile). Il risultato torna, ma il procedimento mi sembra... non so... troppo arzigogolato! C'è una soluzione alternativa meno complicata che mi sfugge? Sarà che non sono abituato alla matematica, o che effettivamente si veda il risultato dei "non studi" delle superiori.
Allo stesso modo, poco più avanti il libro riporta la scomposizione di $x^5 + y^5$ come $(x + y)*(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$ e anche di altre somme con esponenti maggiori. Io procedo sempre con Ruffini, e ovviamente le cose si fanno più lunghe. A questo punto mi sorge il dubbio che sia io a complicarmi la vita...
Grazie mille!
Risposte
Hai pensato a fare il procedimento inverso, cioè a moltiplicare i fattori a secondo membro? Siccome si tratta di un'uguaglianza si può anche dimostrare che è il secondo membro ad essere uguale al primo.
Si, però è stato proprio il fatto di darlo così per scontato che mi ha fatto venire voglia di arrivarci. Infatti poco prima dice "constatato che il binomio $x^3 + y^3$ è divisibile per il binomio $x + y$ e che il relativo quoziente è $x^2 - xy + y^2$ ..."
Constatato... Come? Quando? Io l'ho constatato con Ruffini...
Constatato... Come? Quando? Io l'ho constatato con Ruffini...
posto il mio procedimento..non so dirti se sia il più veloce però!
Allora $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab^2+3a^2b$ raccolgo $3ab$ quindi: $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ divido tutto per $(a+b)$. Quindi: $(a^3+b^3)/(a+b)=(a+b)^2-3ab$. Da cui $(a^3+b^3)/(a+b)=a^2+b^2+2ab-3ab$ e alla fine,moltiplico entrambi i membri per $a+b$ ed ottieni $a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)$.
Allora $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab^2+3a^2b$ raccolgo $3ab$ quindi: $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ divido tutto per $(a+b)$. Quindi: $(a^3+b^3)/(a+b)=(a+b)^2-3ab$. Da cui $(a^3+b^3)/(a+b)=a^2+b^2+2ab-3ab$ e alla fine,moltiplico entrambi i membri per $a+b$ ed ottieni $a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)$.
Se preferisci,naturalmente puoi fare la divisione semplice. Ovvero $a^3+b^3$ dividerlo per $a+b$. non so come postarti la divisione,però non è difficile da fare.
Io sono d'accordo con kekko. La divisione "semplice" tra polinomi, quella cioè fatta con lo stesso procedimento con cui si dividono i numeri interi, è secondo me più facile e più istruttiva.
Per venire al tuo problema, il tuo libro va velocemente perché queste "scomposizioni notevoli" sono tutte riletture del teorema del binomio (che è il vero risultato importante). In sostanza il procedimento che si usa per arrivarci è quello che kekko ha usato nel caso di polinomi di 3°grado.
Per venire al tuo problema, il tuo libro va velocemente perché queste "scomposizioni notevoli" sono tutte riletture del teorema del binomio (che è il vero risultato importante). In sostanza il procedimento che si usa per arrivarci è quello che kekko ha usato nel caso di polinomi di 3°grado.
Grazie mille!
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