Divisione tra polinomi

[ilmondomatematico]

Consideriamo $(x^3+9x+6) : (4x^2-9x+4)$. Il quoziente della divisione è $Q(x) = x/4 + 9/16$ mentre il resto è $R(x) = 209x/16+15/4$

Il mio obiettivo è capire meglio il collegamento tra la divisione tra polinomi e quella tra numeri interi, quindi sostituisco ad x un valore numerico.

Se $x=10$, dividendo e divisore diventano rispettivamente $1096$ e $314$. Ora, $1096 ÷ 314 = 3 + 154/314$.

Sostituendo $x=10$ al quoziente e al resto ottenuti con la divisione tra polinomi, ottengo: $x/4+9/16 => 10/4+ 9/16 = 3+1/16$. Io immagino che questo 1/16 vada a confluire nel resto, quindi:

$R = 209x/16 + 15/4 +1/16 => 2090/16+15/4+1/16 =2151/16$. Tale resto, tuttavia, non è $154$: mi sapreste spiegare come mai non c'è sovrapponibilità tra la divisione tra polinomi e quella intera? I risultati sono evidentemente discordanti, sebbene non abbia fatto altro che sostituire una variabile con un numero.

[mathlover24]

Ciao @ilmondomatematico,
tutto dipende, in un certo senso, da come definisci la divisione. Nel caso degli interi la divisione è "univoca", ad esempio 16:3 fa 5 col resto di 1, cioè 16 = 3*5+1.
Ma nulla ti vieta di "scomporre" 16 diversamente, come ad esempio 16=3*4+4 o ancora, 16=3*19-41, per esempio...

Ti ho convinto?