Divisione euclidea

[Principe2]

pongo il seguente quesito, accessibile a tutti...

dimostrare che il quoziente e il resto della divisione euclidea sono unici.

buon lavoro, ubermensch

[Sk_Anonymous]

Siano a e b(0) due qualunque numeri naturali
( Indico con "§" il simolo di appartenenza)
Indichiamo con M l'insieme (infinito) dei multipli
di b:
M={0,b,2b,3b,...,nb,...}
e di M consideriamo la parte P definita cosi':
x § P <--->(x § M ,x<=a)
P non e' vuota perche' contiene almeno l'elemento 0
ed inoltre e' finita perche' maggiorata da a.
Da cio' segue che P ammette un elemento piu' grande m
il quale,appartenendo ad P,risultera' multiplo di
b ,ovvero,poiche' gli elementi di P sono tutti distinti,
esiste un unico numero q tale che sia
m=bq con bq<=a
Dimostriamo ora che a<(b+1)*q.
Infatti se fosse b(q+1)<=a ,allora b(q+1) § P
Ma b(q+1)=bq+b>bq=m contro l'ipotesi che m sia
il piu' grande numero di P.
Conclusione:
Dati due numeri a e b (0) esiste uno ed un solo
intero q tale che sia:
bq<=a
Essendo bq<=a ,per l'unicita' della sottrazione,esiste
ed e' unico il numero r tale che a=bq+r con r>=0.
E' facile dimostrare che r;infatti e':
abq+rr Reciprocamente se esistono due numeri q ed r tali che
a=bq+r e r a>=bq dato che r>=0 e
aa Si ha dunque l'equivalenza logica:
bq<=a(a=bq+r e r b ed r sono detti rispettivamente quoziente e resto della
divisione euclidea di a per b.Essi, come si e' visto, sono
unici.
karl.





Modificato da - karl il 24/03/2004 15:59:55

[Principe2]

ovviamente corretta!
la cosa stupefacente, non credi?, è che per dimostrare una cosa banale ci vuole tanto arzigogolare; e la dimostrazione completa della divisione euclidea è ancora "peggio"!!

[Sk_Anonymous]

Purtroppo le questioni di principio o sui fondamenti
(da cui scaturiscono tutte le altre) sono sempre
le piu' complicate.
Colgo l'occasione per farti i miei auguri per la nomina
a moderatore.
karl.



Modificato da - karl il 24/03/2004 16:45:52

[Principe2]

grazie