Divisibilità di una somma

[Dario951]

Ciao a tutti.
Dati due interi positivi $ a, b $ coprimi tra loro, considerando la seguente operazione $a+b=c$, è possibile dimostrare che $ c $ , oltre a non essere divisibile né per $ a $ né per $ b $, non è divisibile neanche per i fattori primi di $ a $ e di $ b $.

Grazie
P.S.: Se $ a, b $ non sono coprimi, quanto detto sopra è irrealizzabile: basta considerare come contro esempio $6+10=16$.

[axpgn]

Non saprei dimostrarlo rigorosamente però si può dire che se $p$ è uno dei fattori di $a$ (e quindi NON è un fattore di $b$) allora $m=a/p$ è intero (proprio per la definizione di divisibilità) mentre $n=b/p$ NON è intero (sempre per la stessa definizione); quindi la loro somma non è intera perciò $c$ non è divisibile per $p$.
Forse ...

Cordialmente, Alex

P.S.: Se non sono coprimi basta raccogliere il fattor comune ...

[Zero87]

Per assurdo, facciamo finta che $c$ e $a$ abbiano un divisore comune che chiamo $k$ ($k>1$ lo specifico che non si sa mai).

Dividi ambo i membri dell'equazione per quel $k$ e ottieni
$a/k+b/k=c/k$.

Ora, $a/k$ e $c/k$ sono interi dunque, giocoforza, lo deve essere anche $b/k$ che va contro il fatto che $a$ e $b$ sono coprimi ($k$ è un fattore comune).

In pratica ho detto esattamente quello che ha detto Onlyreferee - che saluto - partendo dalla fine.

[Dario951]

Grazie ragazzi.
Giusto per evitare equivoci , mi sembra che avete confermato che:
"Dati due interi positivi $ a, b $ coprimi tra loro, considerando la seguente operazione $a+b=c$,
$ c $ , oltre a non essere divisibile né per $ a $ né per $ b $, non è divisibile neanche per i fattori primi di $ a $ e di $ b $".
Vero?