Disuguaglianza triangolare, dimostrazione

[Pablo5]

mi sapreste dimostrare la diseguaglianza

|z1+z2|>=||z1|-|z2||

a partire da questa?

|z1+z2|<=|z1|+|z2|


mi rendo conto che è molto semplice ma nn mi torna mai un segno

[TomSawyer1]

Lemma. $|z_1+z_2|>=|z_1|-|z_2|$.
Dim. Ponendo $w=-z_2$, si ha $|z_1-w|>=|z_1|-|w|$, tenendo conto del fatto che $|z_1-z_2|>=|z_1|-|z_2|$ (la quale e' facilmente dimostrabile con $|z_1+z_2|<=|z_1|+|z_2|$) e sostituendo $-z_2$ al posto di $w$, $|z_1+z_2|>=|z_1|-|w|$, e dato che $|w|=|z_2|$, si ha finalmente che $|z_1+z_2|>=|z_1|-|z_2|$

La disuglianza richiesta e' equivalente a
${(|z_1+z_2|>=|z_1|-|z_2|),(|z_1+z_2|>=|z_2|-|z_1|):}$,
e si vede chiaramente che entrambe le condizioni sono soddisfatte dal lemma.

[Pablo5]

anche se un po' in ritardo, grazie mille

[TomSawyer1]

Figurati.

[ottusangolo]

Certo Crook che non ti sei sprecato !
O volevi fare della sottile ironia per un problema troppo facile?
Perchè in fin dei conti hai mostrato a Pablo che:
se |x-y|>|x|-|y| posto z=-y
allora |x+z|>|x|-|z|
e quindi
|x+z|>||x|-|z||
lasciando il resto come (facile) esercizio
con buona pace di Pablo!