Distanza tra 2 punti --> equazione dell'ellisse

[ibanez182]

Vorrei sapere come sono in relazione la formula per la distanza tra due punti e l'equazione canonica dell'ellisse. Più precisamente come si può passare dalla prima alla seconda tramite alcuni passaggi matematici

[fireball1]

L'equazione di una ellisse si ricava sapendo
che l'ellisse è il luogo dei punti del piano la cui
somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi
è costante. Consideriamo il generico punto di coordinate
P(x ; y) e i due fuochi di coordinate F1(-c ; 0) e F2(c ; 0),
nell'ipotesi che sia c > 0 e che quindi F1 appartenga al
semiasse negativo delle ascisse ed F2 appartenga a quello positivo.
Ora usiamo la formula della distanza tra due punti;
la distanza PF1 vale: sqrt((x + c)^2 + y^2)
la distanza PF2 vale: sqrt((x - c)^2 + y^2)
La somma di queste due distanze dev'essere uguale a una
costante che chiameremo, per convenzione, 2a :
sqrt((x + c)^2 + y^2) + sqrt((x - c)^2 + y^2) = 2a
sqrt((x + c)^2 + y^2) = 2a - sqrt((x - c)^2 + y^2)
(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 + (x - c)^2 + y^2 - 4a*sqrt((x - c)^2 + y^2)
Isoliamo il radicale rimasto:
4a*sqrt((x - c)^2 + y^2) = (x - c)^2 + y^2 + 4a^2 - (x + c)^2 - y^2
Al secondo membro si semplificano y^2 e -y^2; inoltre, sempre al secondo
membro, la differenza (x - c)^2 - (x + c)^2 è uguale a -4cx:
4a*sqrt((x - c)^2 + y^2) = 4a^2 - 4cx
Eleviamo ancora al quadrato:
16a^2*((x - c)^2 + y^2) = 16a^4 + 16c^2*x^2 - 32a^2*c*x
Sviluppiamo il primo membro:
16a^2*(x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = 16a^4 + 16c^2*x^2 - 32a^2*c*x
16a^2*x^2 - 32a^2*c*x + 16a^2*c^2 + 16a^2*y^2 = 16a^4 + 16c^2*x^2 - 32a^2*c*x
a questo punto, si semplifica -32a^2*c*x e, portando tutto al primo membro, resta:
16a^2*x^2 + 16a^2*c^2 + 16a^2*y^2 - 16a^4 - 16c^2*x^2 = 0
Ora possiamo dividere tutto per 16:
a^2*x^2 + a^2*c^2 + a^2*y^2 - a^4 - c^2*x^2 = 0
x^2*(a^2 - c^2) + a^2*y^2 = a^2(a^2 - c^2)
Notiamo adesso che la differenza a^2 - c^2 è positiva,
questo perché se consideriamo il triangolo PF1F2, il lato
F1F2 è minore della somma degli altri due, cioè di PF1 + PF2.
La distanza F1F2 (distanza focale) vale 2c, mentre PF1 + PF2 vale 2a.
Dunque è: c < a ==> a > c ; ecco perché la differenza a^2 - c^2 è positiva.
Il fatto che è positiva significa che possiamo porla uguale
ad una costante sempre positiva, quale può essere un quadrato.
Poniamo allora a^2 - c^2 = b^2 ed otteniamo:
b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2*b^2
E dividendo tutto per a^2*b^2 otteniamo finalmente:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Spero di esserti stato utile.

Qualcuno potrebbe pensare che io abbia
copiato l'intera dimostrazione dal libro:
purtroppo il mio libro della terza liceo
non ce l'ho più [:)], quindi potrei
aver commesso qualche errore, visto che ho
completamente rielaborato l'argomento senza
libro e senza quaderno degli appunti davanti agli occhi...

[ibanez182]

Tutto questo senza appunti???
Complimenti...
Grazie Mille!!!