Distanza minima

[TomSawyer1]

Trovare il punto $P$ della parabola $y=-x^2+4x$, per cui sia minima la distanza dalla parabola alla retta $y=-x+8$.

[fireball1]

Sia P il punto di coordinate $(t,-t^2+4t)$.
Ora applichiamo la formula della distanza
punto-retta e abbiamo:
$d(P,r)=|-t^2+4t-(-t+8)|/sqrt(2)=1/sqrt(2)|-t^2+5t-8|$
dove r è la retta data. Volendo possiamo anche
togliere il modulo perché la retta si trova tutta sopra
la parabola, per cui la funzione da minimizzare diventa:
$d(P,r)=1/sqrt2(t^2-5t+8)$, essendo
$-t^2+5t-8$ definitivamente negativo.
La derivata prima è: $1/sqrt2(2t-5)$ che si annulla
per $t=5/2$, inoltre la derivata seconda è $sqrt2$
che è sempre positiva, perciò il punto è di minimo.
Allora il punto cercato ha coordinate $(5/2,15/4)$.

[Camillo]

Il punto P ( $5/2, 15/4) $.

[TomSawyer1]

Grazie. Qual è la formula per la distanza punto-retta?

[fireball1]

Non mi chiedere la dimostrazione perché
non me la ricordo, comunque, data
l'equazione di una retta in forma esplicita,
$y=mx+q$, la distanza di un punto del piano
di coordinate $(x_0,y_0)$ dalla retta è:
$delta:=|y_0-(mx_0+q)|/sqrt(1+m^2)$

[TomSawyer1]

Grazie ancora. Mi sto chiedendo perché non ho mai visto questa formula. E' grave...

[fireball1]

Quando la retta è in forma implicita, cioè $ax+by+c=0$,
si usa la formula $delta:=|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$.

[TomSawyer1]

Io conoscevo la seconda. Sottolineo "conoscevo". Passato tanto tempo da quando mi sono occupato analitica.