Distanza di un punto da una retta

[ragoo1]

Salve.

La traccia è:

Calcolare le coordinate dei punti di ascissa $2$ equidistanti dalle due rette di equazione:

$x+3y-1=0$

$6x-2y+1=0$

Ora, la formula per calcolare la distanza di un punto da una retta di cui si conosce l'equazione in forma implicita è:

$d=|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$

Easy. Mi piace perché è facile da ricordare.

Quindi, nel mio caso, se considero un generico punto $P(2, y)$:

$|1*2+3y-1|/sqrt(1^2+3^2)=|6*2-2y+1|/sqrt(6^2+2^2)$

$|3y+1|/sqrt(10)=|13-2y|/(2sqrt(10))$

$2|3y+1|=|13-2y|$

Risolvo per casi.

[hl]Se $y<=-1/3$[/hl]:

$2(-3y-1)=-13+2y$

$-6y-2=-13+2y$

$8y=11$

$y=11/8$

La soluzione non è accettabile.

[hl]Se $-1/3<=y<=13/2$[/hl]:

$2(3y+1)=-13+2y$

$6y+2=-13+2y$

$4y=-15$

$y=-15/4$

La soluzione non è accettabile.

[hl]Se $y>=13/2$[/hl]:

$2(3y+1)=13-2y$

$6y+2=13-2y$

$8y=11$

$y=11/8$

La soluzione non è accettabile.

What?

La soluzione che riporta il libro è:

$A(2, 11/8)$

$B(2, -15/8)$

Penso che l'ordinata di $B$ sia $-15/4$ come verrebbe a me se il risultato fosse accettabile.

Perché non viene? Non capisco.

EDIT: Ah, aspettate. Penso che abbia semplicemente sbagliato il verso del termine a secondo membro nel grafico.

[Quinzio]

"ragoo":

$2|3y+1|=|13-2y|$

Risolvo per casi.

[hl]Se $y<=-1/3$[/hl]:

$2(-3y-1)=-13+2y$

Perche' cambi segno anche quando togli modulo sulla destra ?

$y$ e' negativa, quindi $13-2y$ e' sempre positiva, quindi $2(-3y-1)=13-2y$

$y=-15/4$ ok

Per vedere se cambiare segno quando togli il modulo fai dei test "esagerati".
Ad es. $y=-1000$
A destra dentro al modulo hai qualcosa "vicino a" $+2000$. E' positivo, cambio il segno ? No
A sinistra dentro al modulo hai qualcosa "vicino a" $-3000$. E' negativo, cambio il segno ? Si

[ragoo1]

Sì, ho scordato che nel grafico del segno, nel caso di $|13-2y|$, la parte tratteggiata deve andare nella direzione opposta. Devo ammettere che questo genere di equazioni le ho sempre risolte meccanicamente senza badare troppo al significato del valore assoluto e affidandomi totalmente al disegnino, senza rifletterci tanto.

Sì, in effetti, non ci vuole un granchè per fare a meno del grafico. Bel trucchetto, lo userò senz'altro. Grazie.