Distanza di un punto da una retta
Non riesco a capire la formula che dà il mio libro sulla distanza di un punto da una retta, ovvero $d = |(ax_0 + by_0 + c) | / sqrt(a^2 + b^2). $
Non dà dimostrazioni: c'è solo un esempio nel quale considera un punto $P$ e una retta $r$, dove poi traccia da $P$ le parallele agli assi fino a incontrare la retta nei punti $A$ e $B$. Quindi da $P$ viene tracciata l'altezza relativa all'ipotenusa $PH$, e successivamente ricava l'altezza con questa formula: $ PH = (PA * PB)/(AB)$, formula a me sconosciuta in quanto per ricavarmi l'altezza di un triangolo rettangolo conosco soltanto il secondo teorema di Euclide.
Quindi vorrei capire tre cose:
1) Perché l'altezza $PH$ è uguale al prodotto dei cateti diviso l'ipotenusa $AB$?
2) Che relazione c'è tra la formula per calcolare $PH$ che presenta il libro e la formula per calcolare la distanza di un punto da una retta $d= |(ax_0 +by_0 + c)|/sqrt(a^2 + b^2)$? Capisco ovviamente il motivo per cui calcolando $PH$ si ha la distanza cercata, quello che non capisco è il motivo per cui quella formula di $PH$ dovrebbe giustificare la formula canonica della distanza di un punto da un retta.
3) In generale, per calcolarsi la distanza di un punto da una retta, non sarebbe più agevole procedere come il libro fa nell'esempio e calcolandosi l'altezza relativa all'ipotenusa col secondo teorema di Euclide?
Non dà dimostrazioni: c'è solo un esempio nel quale considera un punto $P$ e una retta $r$, dove poi traccia da $P$ le parallele agli assi fino a incontrare la retta nei punti $A$ e $B$. Quindi da $P$ viene tracciata l'altezza relativa all'ipotenusa $PH$, e successivamente ricava l'altezza con questa formula: $ PH = (PA * PB)/(AB)$, formula a me sconosciuta in quanto per ricavarmi l'altezza di un triangolo rettangolo conosco soltanto il secondo teorema di Euclide.
Quindi vorrei capire tre cose:
1) Perché l'altezza $PH$ è uguale al prodotto dei cateti diviso l'ipotenusa $AB$?
2) Che relazione c'è tra la formula per calcolare $PH$ che presenta il libro e la formula per calcolare la distanza di un punto da una retta $d= |(ax_0 +by_0 + c)|/sqrt(a^2 + b^2)$? Capisco ovviamente il motivo per cui calcolando $PH$ si ha la distanza cercata, quello che non capisco è il motivo per cui quella formula di $PH$ dovrebbe giustificare la formula canonica della distanza di un punto da un retta.
3) In generale, per calcolarsi la distanza di un punto da una retta, non sarebbe più agevole procedere come il libro fa nell'esempio e calcolandosi l'altezza relativa all'ipotenusa col secondo teorema di Euclide?
Risposte
Hai presente la formula per il calcolo dell'area di un triangolo? Ecco, quella 
Ok, e questo spiega la formula di $PH$, ma non ho ancora capito la relazione con la canonica formula della distanza di un punto da una retta. Perché il libro da quell'esempio inferisce che la formula per la distanza di un punto da una retta sia proprio quella?
Probabilmente perché l'autore ritiene più semplice (o più funzionale al seguito) determinare i punti $A$ e $B$.
E sempre probabilmente questa formula della distanza punto-retta è la più "facile" da usare, con questi dati, rispetto ad altre.
E sempre probabilmente questa formula della distanza punto-retta è la più "facile" da usare, con questi dati, rispetto ad altre.
Ok, quindi non c'è nessun nesso algebrico tra le due formule.
Grazie per la risposta!
Grazie per la risposta!
Pensavo di aver detto il contrario ... 
Errore mio 
.
Se non ti dispiace, potresti farmi vedere la dimostrazione passo passo allora?
.Se non ti dispiace, potresti farmi vedere la dimostrazione passo passo allora?
Ah ma io non ho idea di come l'autore la utilizzi ... ... dovresti chiedere a lui ...
Io farei in altro modo ... partirei dalla retta perpendicolare a $r$ passante per $P$, metto a sistema le due rette, trovo $H$ e calcolo la distanza tra i due punti ... lungo e soprattutto complicato (è per questo che non la mettono )
[ot]Ribadisco che non ne vale la pena (per te, intendo) dedicare risorse a queste cose ...[/ot]
Cordialmente, Alex
... dovresti chiedere a lui ... Io farei in altro modo ... partirei dalla retta perpendicolare a $r$ passante per $P$, metto a sistema le due rette, trovo $H$ e calcolo la distanza tra i due punti ... lungo e soprattutto complicato
(è per questo che non la mettono )[ot]Ribadisco che non ne vale la pena (per te, intendo) dedicare risorse a queste cose ...
[/ot]Cordialmente, Alex
Ho capito il tuo procedimento...
Riguardo le formule: io penso sia importante capire cosa c'è dietro ogni formula che si applica, per questo ci 'perdo' tempo.
Riguardo le formule: io penso sia importante capire cosa c'è dietro ogni formula che si applica, per questo ci 'perdo' tempo.
Capisco benissimo quello che vuoi dire ma le "risorse" non sono infinite perciò tutto non si può fare; imparare a capire quali sono le priorità e come distribuire le proprie forze è molto importante
Anche quello che dici è vero... 
Purtroppo quello che dice @axpgn è sacrosanto, soprattutto alle superiori quando si hanno ottanta materie diverse e bisogna per forza
però non perdere questa voglia di scoprire il perché delle cose. Così facendo consolidi meccanismi, impari a usarne di nuovi e sicuramente acquisisci un'esperienza che poi sarà utile in altri campi (sempre matematica intendo).
Inoltre scoprire e rigirare la matematica offre sempre tanti spunti interessanti.
Una buona serata a entrambi, così come sono arrivato... sparisco! 
"axpgn":
imparare a capire quali sono le priorità e come distribuire le proprie forze
però non perdere questa voglia di scoprire il perché delle cose. Così facendo consolidi meccanismi, impari a usarne di nuovi e sicuramente acquisisci un'esperienza che poi sarà utile in altri campi (sempre matematica intendo).
Inoltre scoprire e rigirare la matematica offre sempre tanti spunti interessanti.
Una buona serata a entrambi, così come sono arrivato... sparisco!
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